Originally posted by Emily89
Sapreste spiegarmi il motivo per cui b è uguale a ±1 nell'ultimo punto? E' tratto dal libro e questa è la risposta data dalle prof sui pdf:

Esercizio 7.1 (pag.89)
Nell’insieme H = Z×Z = {(x, y)|x, y ∈ Z} si consideri l’operazione ⋆ cos`ı
definita:
(x, y) ⋆ (z, t) = (x + z, yt).
Si stabilisca se `e commutativa, associativa e si determinino gli elementi inverti-
bili.
Soluzione
a) Propriet`a commutativa:
Poich´e (x, y) ⋆ (z, t) = (x+z, yt) e (z, t) ⋆ (x, y) = (z+x, ty), per la propriet`a
commutativa della somma e del prodotto in Z, i risultati sono uguali per ogni
coppia di elementi (x, y), (z, t) ∈ Z × Z.
b) Propriet`a associativa:
((x, y) ⋆ (z, t)) ⋆ (u, v) = (x + z, yt) ⋆ (u, v) = ((x + z) + u, (yt)v)
e
(x, y) ⋆ ((z, t) ⋆ (u, v)) = (x, y) ⋆ (z + u, tv) = (x + (z + u), y(tv)).
Ancora i risultati sono uguali per la propriet`a associativa di somma e prodotto
validi in Z e quindi `e verificata la propriet`a associativa per ogni terna di elementi
in Z × Z.
c) Prima di determinare gli eventuali elementi invertibili, stabiliamo se esiste
l’elemento neutro (poich´e l’operazione `e commutativa, un eventuale elemento
neutro a sinistra o a destra sar`a bilatero e quindi unico), cio`e l’elemento (h, k)
di Z × Z tale che ∀(x, y) ∈ Z × Z si abbia:
(h, k) ⋆ (x, y) = (h + x, ky) = (x, y).
L’elemento neutro sar`a quindi l’elemento le cui componenti soddisfano contem-
poraneamente le condizioni: h + x = x e ky = y per ogni h, k ∈ Z e quindi `e
l’elemento (0, 1).
Cerchiamo ora gli elementi unitari (o invertibili), cio`e gli elementi (a, b) ∈ Z×Z
per i quali esista un elemento (x, y) tale che (a, b) ⋆ (x, y) = (a + x, by) = (0, 1).
Si ottiene x = −a e b = ±1. Quindi U = {(a, 1), (a,−1)|a ∈ Z}.

code:

L'operazione di prodotto tra interi relativi è dotata di elemento neutro (il numero 1); gli unici elementi invertibili di Z sono 1 e -1

Originally posted by spenk.85
se guardi il libro pag 84 esempio 7.6:

code:

L'operazione di prodotto tra interi relativi è dotata di elemento neutro (il numero 1); gli unici elementi invertibili di Z sono 1 e -1

Immagino che sia per questo il motivo essendo una moltiplicazione in Z.

Ma non vorrei dire cavolate

Originally posted by Lazor
La preparazione al compitino con la gillio sarà mercoledì 7 alle 13.30 presumo nella solita aula (V3).

Originally posted by Emily89
Guarda, secondo me alla fine ci conviene andare ad intuito... per farti un esempio, se siamo in Z7 e hai ad ex 3x^2/13x tu ti calcoli prima i multipli di 13 e poi vedi quanto questi multipli distano da un numero divisibile per 7.. in questo caso 13 dista 6 o -1 26 dista 5 o -2 39 dista 4 o -3 52 dista 3 o -4.. bingo! 52/13 = 4, quindi il risultato è 4x. Dopo averci sbattuto la testa per una giornata intera ho imparato a procedere così :D

Originally posted by ViPah
6 dista 1 da 5 (5x1) e 4 da 10 (5x2). <--- Z5


6 dista 1 da 7(7x1) e 8 da 14 (7x2) . <---Z7




IL tuo ragionamento emily è giusto, ma forse espresso male.

Ci riprovo io:

Bisogna trovare quel numero che dia resto uguale al coefficente maggiore del dividendo. Per intenderci x^4 +x^2+1 /x^3-2

Noi dobbiamo trovare un numero che annulli l'x^4 perchè è il fine della nostra operazione.

Quindi dobbiamo trovare il numero che dia resto 1 (-1 invertendo di segno) in z7. Potrebbe essere 8, ma non è moltiplicabile per 3 (il primo membro del divisore), quindi passiamo a 7x2 che fa 14. Aggiungendo uno di resto, troviamo 15. E' divisibile per 3? si. Allora scrivo 5x nella riga dei q(x).

Questo ragionamento ora funziona. spero di essere stato "un pò piu chiaro" :)

Originally posted by ViPah
john :D io la vedo cosi. in classi di resto si trasforma quando si calcola la q(x) e i vari passaggi di resto, per intenderci, il passaggio dopo la somma delle due righe.

escludo l'errore, perch'è al contrario funziona. 3*5 fa 15 che in z7 è 1.


emily il tuo ragionamento come ti ho gia detto non fa una piega, il fatto di "andare a tentativi" però non mi convince del tutto. Che ci sia un altro modo a noi sconosciuto?


P.s La legge di rikku non funza col tuo esempio. FUnziona solo se la x del dividendo è uguale a 1 :)


emily

Originally posted by ViPah
puttana troia sono fottuto!

Che ha spiegato di nuovo?

Originally posted by Emily89
Comunque con la Gillio abbiamo fatto solo un misero esercizietto e poi ha spiegato cose nuove

Originally posted by ViPah
Ora l'esercizio sulle strutture algebriche su cui non sono particolarmente portato.


La relazione è commutativa? Vero (penso :) )

Lelemento neutro si calcola in questo modo:
Creo un nuovo elemento in relazione a ax^2+bx+c. il risultato deve dare ax^2+bx+c.


(dx^2+ex+f)*(ax^2+bx+c)=ax^2+bx+c

dax^2+ebx+cf=ax^2+bx+c

Elemento neutro = 1.

Potrebbe essere una soluzione, ma potrebbe anche essere sbagliato.

Sinceramente la consegna dell'elemento inverso non l'ho capita.

Aspetto gli esperti per maggiori dettagli.

CIao!

Originally posted by ViPah
Dov'è scritto che l'elemento deve essere un polinomio?

code:

"sia X=R2[x] l'insieme dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a due"

Originally posted by ViPah
minchia sei avanti :)

Originally posted by supernova
Grazie a tutti! L'elemento inverso funziona tipo così. Per esempio nel caso del polinomio è : polinomio * elemento inverso = elemento neutro. Al posto di polinomio ci potete piazzare quello che volete a seconda dell'esercizio.

Originally posted by Emily89
Sapreste spiegarmi il motivo per cui b è uguale a ±1 nell'ultimo punto? E' tratto dal libro e questa è la risposta data dalle prof sui pdf:

Esercizio 7.1 (pag.89)
Nell’insieme H = Z×Z = {(x, y)|x, y ∈ Z} si consideri l’operazione ⋆ cos`ı
definita:
(x, y) ⋆ (z, t) = (x + z, yt).
Si stabilisca se `e commutativa, associativa e si determinino gli elementi inverti-
bili.
Soluzione
a) Propriet`a commutativa:
Poich´e (x, y) ⋆ (z, t) = (x+z, yt) e (z, t) ⋆ (x, y) = (z+x, ty), per la propriet`a
commutativa della somma e del prodotto in Z, i risultati sono uguali per ogni
coppia di elementi (x, y), (z, t) ∈ Z × Z.
b) Propriet`a associativa:
((x, y) ⋆ (z, t)) ⋆ (u, v) = (x + z, yt) ⋆ (u, v) = ((x + z) + u, (yt)v)
e
(x, y) ⋆ ((z, t) ⋆ (u, v)) = (x, y) ⋆ (z + u, tv) = (x + (z + u), y(tv)).
Ancora i risultati sono uguali per la propriet`a associativa di somma e prodotto
validi in Z e quindi `e verificata la propriet`a associativa per ogni terna di elementi
in Z × Z.
c) Prima di determinare gli eventuali elementi invertibili, stabiliamo se esiste
l’elemento neutro (poich´e l’operazione `e commutativa, un eventuale elemento
neutro a sinistra o a destra sar`a bilatero e quindi unico), cio`e l’elemento (h, k)
di Z × Z tale che ∀(x, y) ∈ Z × Z si abbia:
(h, k) ⋆ (x, y) = (h + x, ky) = (x, y).
L’elemento neutro sar`a quindi l’elemento le cui componenti soddisfano contem-
poraneamente le condizioni: h + x = x e ky = y per ogni h, k ∈ Z e quindi `e
l’elemento (0, 1).
Cerchiamo ora gli elementi unitari (o invertibili), cio`e gli elementi (a, b) ∈ Z×Z
per i quali esista un elemento (x, y) tale che (a, b) ⋆ (x, y) = (a + x, by) = (0, 1).
Si ottiene x = −a e b = ±1. Quindi U = {(a, 1), (a,−1)|a ∈ Z}.

Originally posted by ViPah
Qualcuno mi riesce a spiegare il calcolo dell'inverso dell'esercizio 7.3?


arrivo a questo sistema:

xc-yd=1
xd+yc=0

c=yd/x
d=-yc/x

Dalle soluzioni però viene diverso, che sbaglio?

Originally posted by Emily89
Ah si, hai ragione!! Mi era sfuggito di essere in Z.. grazie mille!:)

Originally posted by ViPah
Ma quindi qualcuno mi saprebbe spiegare come si opera dopo la prima divisione per l'mcd?

Che confusioneeeee :?:?:?:?:?:?

è un pò vecchiotto questo post...ma comunque non mi torna la risoluzione dell'esercizio e nemmeno la spiegazione data da spenk...

Originally posted by ViPah
ok, quindi si va avanti finchè il resto non è uguale a zero. Ok.


Che dio ce la mandi buona.


Ora è il momento di confondersi un pò con i miei amici vettori. :evil:

Originally posted by il_gege
Emily grazie....però fai conto che io avevo escluso in partenza perchè pensavo che essendo xz= 0 vuol dire che o x o z sono uguali a zero, e ciò non è possibile..