[numeri complessi] esercizio
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| elly00 |
Ciao,
qualcuno può dirmi come si procedere nello svolgimenti di questo esercizio?
"scrivere in forma trigonometrica e in forma algebrica tutte le soluzioni dell'equazione z^4= -8+8i*radice di 3
GRAZIE
CIao |
| Dark-Angel |
| Devi scrivere il numero complesso in forma trigonometrica e poi trovarne le 4 radici |
| ale82info |
| in pratica ti esce un quadrato inscritto nella circonferenza che ha i vertici nelle soluzioni della radice.... |
| elly00 |
mmm ..
non penso di aver capito... :oops:
mi potete fare un esempio?
GRAZIE |
| the Cure |
ora non ho gli appunti sotto mano... cmq:
il num complesso in forma algebrica è del tipo:
z=x+iy
per trasformarlo in forma trigon:
z=g(cost + isent)
dove:
g=sqrt(x^2 + y^2)
cost= x/g
sent=y/g
perciò ti ricavi l'angolo t
se hai z^4 per esempio,
devi calcolare la rad4ª:
g diventa rad4ª(g)
cost diventa cos(t/4 + 2kpi/4) (pi:pi-greco)
sent diventa sen(t/4 + 2kpi/4)
a questo punto sostituendo k=0,1,2,3 trovi le quattro soluzioni
se invece la z ti è data sotto radice:
per esempio rad4ª(z)=x+iy
devi elevare a potenza:
g diventa g^4
cost diventa cos4t
sent diventa sen4t
mi raccomando vai a controllare perchè sto andando a memoria (che è tutto un dire...)
ciao |
| elly00 |
grazie per il suggerimento....
facciamo questo esempio :
Scrivere in forma algebrica e in forma trigonometrica tutte le soluzioni dell'equazionez^4-8z=0
lui procede così nella soluzione:
z(z^3-8)=0 per z1=0------->indeterminata
e per z^3=8--->2^3(cos0+isen0)
e ancora
z=2(cos2kpgreco/3+isen2kpigreco/3)
z2=2(cos2/3pigreco+isen2/3pigreco)
z3=2(cos4/3pigreco+isen 4/3pigreco)
z4=2=(2cos0+isen0)
ma sinceramente non mi è molto chiaro.....:( |
| imperator |
prova a fare cosi:
z (z^3 - 8) = z (z - 2) (z^2 + 2z + 4);
così le quattro soluzioni sono:
z = 0;
z = 2;
le altre due sono le radici di (z^2 + 2z +4); ovviamente ti usciranno radici quadrate di numeri negativi...ma non è un problema, siamo nei complessi, ed i^2 = -1; per cui il segno negativo lo sostituisco con i^2;
PS: (a^3 - b^3) = (a-b) (a^2 + ab + b^2) |
| the Cure |
bel metodo, non ci avevo pensato!
:-o |
| stratos |
8+8i*radice di 3
SQRT[8^2+(8*sqrt3)^2] = 16
w = 16(Cos -1/2 + i sen SQRT3/2) = 16(cos pì2/3 + i sen pì2/3)
poi col solito metodo risolvi da z^4
cioè
Z = 2(cos pì/6 + kpì/2 + i sen pì/6 + kpì/2)
ecc............ |
| Oracle |
Una domanda seguendo le istruzioni sopra :
(1 + i) viene SQRT(2) (cos pi/4 + i sen pi/4)
-Ok per ro=SQRT(2) ma pi/4 io non lo ottengo da cos(1/sqrt2) come scritto sopra ma facendo tangente(1/1) che sono le due parti reali del numero complesso.
-pi/4= tang(1) oppure cos (sqrt(2)/2) che non c'è
E' giusto o non ho capito niente ? |
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