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Simeon |
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Originally posted by Druidz
lo sto facendo ma sinceramente mi incarto sempre con le nozioni di base (vedi exe I il punto due) per il resto vedo che riesco a fare ma non so se riesco a postarlo entro sta sera... Conviene esserci domani se sarà quello che corregge. ciao
Non lo corregge domani, e' stato fatto nella prima lezione del corso ombra.
Comunque posto le mie soluzioni di "dittatore" (e' il tema del 7/7/2004 scaricabile anche dal sito di statistica autogestita) nella speranza che qualcuno voglia confrontare:
ESERCIZIO 1:
1)
Siccome Y = X + M*(1-X), mi costruisco una tabella dei valori che assumono X e M e osservo in corrispondenza che valore assume Y.
X=0, M=0 -> Y=0 + 0*(1-0) -> Y=0
X=1, M=0 -> Y=1 + 0*(1-1) -> Y=1
X=0, M=1 -> Y=0 + 1*(1-0) -> Y=1
X=1, M=1 -> Y=1 + 1*(1-1) -> Y=1
Y puo' assumere i valori 0 e 1, per cui ha una distribuzione bernoulliana.
2)
P(Y=1|X=0)= P(Y=1 /\ X=0) / P(X=0)
Ora, P(Y=1 /\ X=0) si ha quando X=0 e M=1, per cui
P(Y=1 /\ X=0) = P(X=0 /\ M=1), e
P(X=0 /\ M=1)=P(X=0)*P(M=1) (perche' X e M sono indipendenti), = (1-p)*mu
Quindi
P(Y=1|X=0) = (1-p)*mu)/(1-p) = mu
P(Y=1|X=1)= P(Y=1 /\ X=1) / P(X=1)
P(Y=1 /\ X=1) si ha in due occasioni, con X=1,M=0 e con X=1,M=1, per cui
P(Y=1 /\ X=1) = P(X=1)*P(M=0) + P(X=1)*P(M=1) = p*(1-mu) + p*mu
Quindi
P(Y=1|X=1) = p*(1-mu) + p*mu / p = p(1-mu+mu)/p = 1
3)
P(Y=1) =
io l'ho calcolato in un po' di modi diversi per assicurarmi che fosse giusto, qui lo metto col teorema delle probabilita' totali.
P(Y=1)=P(Y=1|X=0)*P(X=0) + P(Y=1|X=1)*P(X=1) = mu*(1-p) + 1*p = mu - mup + p
4)
Qui arriva il punto dolente, io ho fatto
COV(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)
Sugli appunti c'e' scritto che, in caso di X e Y bernulliane,
E(XY) = P(X=1 /\ Y=1), per cui
COV(X,Y) = P(X=1 /\ Y=1) - P(X=1)P(Y=1) = p-p^2-mup+mup^2
NON SO SE SIA GIUSTO, MA SIA FACENDOLO COSI CHE SVILUPPANDO LA MEDIA E[XY] MI VIENE STO RISULTATO
5)
Raccolgo p da COV(X,Y) ottenendo p(1-p-mu-mup) e sostituisco p=1/2 ottenendo 1/2(1-1/2-mu+mu*1/2). Con un po' di raccoglimenti mi vien fuori
COV(X,Y) = 1/4(1-mu) di cui si puo' tracciare facilmente il grafico.
6)
Se due variabili sono indipendenti allora COV(X,Y)=0, per cui X e Y sono indipendenti per mu=1 (dato che annulla il prodotto 1/4(1-mu))
ESERCIZIO 2:
E(Un)=E(1/n*(sommatoria da 1 a n di Xi))
= 1/n*E(sommatoria da 1 a n di Xi)
= 1/n*n*E(X) (dato che tutte le Xi sono identicamente distribuite)
= 1/n*n*P(X=1) = 1/n*n*p= p
E(Vn)= ... stesso procedimento, alla fine si trova
... = 1/n*n*E(Y) = 1/n*n*P(Y=1) = 1/n*n*(mu-mup+p)=p+mu(1-p)
2)
Qui chiede uno stimatore non distorto di p basato sui campioni (X,Y)... non ho ben capito cosa significhi questa frase, per cui io ho semplicemente risposto che Un e' uno stimatore non distorto di p.
3)
Come sopra. Ho risposto che Vn e' uno stimatore non distorto di p + mu(1-p)
4)
Qui avevo risposto che Zn=1/n(sommatoria da 1 a n di Mi) era uno stimatore non distorto di mu, ma il testo dice che lo stimatore dev'essere basato sul campione di coppie (X,Y). Non so se sia giusto, ma dato che
Y=X+M(1-X)
allora ho fatto
M=(Y-X)/(1-X)
E quindi lo stimatore Zn mi e' venuto
Zn=1/n(sommatoria da 1 a n di (Yi-Xi)/(1-Xi))
ESERCIZIO 3:
1)
P(X=1)=p
2)
P(Y=1)=k/n=537/1000
3)
Nell'esercizio II.4 abbiamo usato Zn per stimare mu. Per cui io l'ho usato anche qui, sostituendo a Vn e Un rispettivamente k/n e h/n, ottenendo come stimatore di mu
(k-h)/(n-h)
Il quarto punto non ho proprio idea di come si faccia.
QUESTE SONO LE MIE SOLUZIONI, NON SONO CONVINTO CHE SIANO GIUSTE, QUALCUNO ARRIVI A CORREGGERE BASANDOSI SULLE SOLUZIONI UFFICIALI FATTE AL CORSO OMBRA PER FAVORE
Last edited by Simeon on 08-06-2009 at 21:45
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