gaffiere

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ammesso di fare giusto quello ceh si fà: con quanti esercizi svolti si passa?

bubba

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potreste postare anche la traccia del 24-6-2004?
grazie.

si ok lo farò....dovete solo avere un pò di pazienza che controllo che tutto sia giusto...in pratica devo rifare il compito comunque inizio con le soluzioni del primo

Es I

I.1
potete copiare le funzioni generiche che sono sul mood facendo però attenzione che lambda per tutto il compito avrà valore 1/mi quindi

f(x) = 1/mi * e^(-x/mi) ; F(x) = 1 - e^(-x/mi) ;
m(t) = (1/mi)/[(1/mi) - t] con t<1/mi

I.2
E[x] = mi ; var[x] = mi^2 ; E[-x] = -(1/Lambda) = - mi ; var[-x] = mi^2

I.3

E(e^t(-x)) = Lambda/(Lambda + t) ; lo ottenete facilmente svolgendo l'integrale trà 0 e infinito

Es II

II.1
E[D] = E[x] + E[-y] = E[x] - E[y] = mi - mi = 0 ;

II.2
var[D] = var[x] + var[-y] - 2Cov[x - y] = var[x] + var[-y] =
= mi^2 * mi^2 = 2mi^2
Per calcolarlo svolgete il quadrato della varianza di d e arrivate a trovare la covarianza, ma questa è zero perchè per definizione le 2 variabili sono indipendenti quindi...

II.3
E[e^tD] = E[e^t(x-y)] = E[e^tx * e^-ty] = E[e^tx]E[e^-ty] = dato che sono delle variabili indipendenti mx(t) * m-y(t) =
Lambda^2 / (Lambda^2 - t^2)

p.s per mx e m-y si intendono x e -y come pedici rispettivamente

Es.III

III.1
E[Sn] = E[sommatoria 1-n Di] = n E[D] = 0

III.2
Var[Sn] = n Var[D] = 2n mi^2

deviaz standard = mi *(2n)^1/2

III.3
m(t) = (1/ 1 + (t^2/2 * 1/n))^n

per trovarla dovete sostituire i valori di Sn* nel calcolo del valore atteso, separare poi Sn da t e da sigma sostituendo z= t/sigma, risolvete il valore atteso semplificando la moltiplicatoria e notando che avete E[e^zDi] che è uguale a m(z), ora m(z) = alla generatrice trovata nel II.3 con z al posto di t quindi sostituendo 1/mi a lambda e semplificando otterrete il risultato

III.4

basta portare il risultato al limite e notare che è un limite notevole quindi
Lim (1/ 1 + (t^2/2 * 1/n))^n = e^(t^2/2)

Es. IV

IV.1
P(Sn = 0) = 0 siamo in un modello continuo quindi chiedere la probabilità di un risultato preciso è = a zero

IV.2
Dobbiamo standardizzare la Sn quindi ottenere la Sn* che si potrà poi normalizzare quindi
P(|Sn|<= rH) = P(|Sn|/s <= rH/s) = P(|Sn*|<= rH/s) =
F(rH/s) - F(-rH/s) ~ Phi(rH/s) - Phi(-rH/s) = 2Phi(rH/s) -1 =
= 2Phi[rH/((2n)^1/2 * mi)] -1

P.s s = sigma di Sn

IV.3
Qui si chiede in pratica P(|Sn|>L) con L= H/2 e m=50
quindi standarsizzando come prima otterremo
1-P(|Sn*|<=L/s) = 2(1 - Phi( H/2 * 1/(120^1/2)*mi )
questo risultato lo pongo uguale a 1/5 visto che è il mio errore prodotto negli anni di lavoro (10errori/50anni)
da qui otterrò
0.9 = (1 - Phi( H/2 * 1/(120^1/2)*mi ) e controllando sulla tabella del mood D2 cerco il primo valore che è = a 0.9 , 0.9015 che mi permette di trovare la x= 1.209,
quindi H/mi = (1.209)(2*(120^1/2)) ~ 26.49

P.s s = sigma di Sn

Spero sia tutto chiaro se avete quanche dubbio fatemelo sapere...ah prima che me ne dimentichi tra gli appunti al puno II.2 io ho non la covarianza ma la varianza ma non mi è riuscito di dimostrare la cosa invece sono riuscito a dimostrarla con la covarianza e penso sia la strada giusta...comunque questo è tutto adesso vado a cercare il compito che manca sperando di trovare il tutto....sciau...

per il secondo compito pazientate nella serata al massimo domattina posto le soluzioni

gaffiere

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molte grazie bubba!
ma su un tema come questo, con quanti es si passa?

bubba

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p.s non ho trovato il tema che manca se qualcuno lo ha lo può postare? altrimenti non sò come fare per risistemare gli esercizi....attendo rinforzi

per il numero di esercizi a dire il vero non saprei di preciso comunque immagino che siano almeno fino alla metà del terzo fatti in maniera giusta o comunque con una logica....comunque considera che effettivamente non è poi così difficile questo come compito...io mi sono fatto fregare solo dal IV.2 perchè pensavo di dover utilizzare tchebycheff invece bisognava utilizzare la standardizzazione che era stata fatta precedentemente....detto ciò attendo qualche anima pia che posti il compito mancante...ma se non ricordo male quello che avevamo svolto noi in aula era un compito che poi era stato leggermente modificato per l'esame....

gaffiere

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io purtroppo non ce l'ho
dopo provo a cercarlo ancora...

freccia

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ho postato il tema del 24-06-2004 in filez

bubba

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preso al volo a dopo per le soluzioni ;D

freccia

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Grazie Bubba!!

Questi sono i temi d'esame che parlano di Poisson e/o Esponenziale:

13/4/2005
17/2/2005
24/6/2004
7/4/2004
9/4/2003
15/1/2003
17/4/2002
10/10/2001
11/7/2001

Ne avete individuati altri?

gaffiere

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perfetto!
ragazzi non è che riuscite a postare nell'area filez quelli che mancano?
qualcuno l'ho recuperato, ma domani non so' se riesco a passare in copisteria a prendere i più vecchi
grazie mille comunque per lo sbattimento!

freccia

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purtroppo non ho lo scanner, quelli dal 2000 al 2003 li avevo presi in copisteria anche io.
mi spiace

gaffiere

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'pito, tnx lo stesso

per ora mi mancano le soluzioni di 24/6/2004 - 17/4/2002
mentre mi manca tutto, anche il testo di 17/2/2005 - 11/7/2001

ma quello di febbraio 2005 non è in filez? sono diventato orbo io?

a questo punto domani proverò a fare un po' i temi, mal che vada mi guardo le soluzioni ... odio arrivare in questa condizione all'esame... ma meglio dare un'occhiata alla soluzioni no?

freccia

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TEMA D’ESAME 17/2/2005

ESERCIZIO 1

Distribuzione di POISSON, cioè discreta, quindi N può assumere come valore solo i numeri naturali maggiori di zero.

1.1)
- P(N<=0) = P(N<0)+P(N=0)
P(N<0) è impossibile quindi P(N<=0) = P(N=0)= 1/(e^(Lambda))
- P(N=0) = 1/e^(Lambda)
- P(N>0) = 1 – P(N<=0) = 1 – 1/(e^(Lambda))

1.2)
- E(N) = lambda (pagina 103 MGB)

1.3)
- 1/(e^(Lambda)) = P(N=0) per cui Lambda = Ln[1 / P(N=0)]

1.4)
- Grafico della densità di Poisson: col crescere di x i valori di f(x) decrescono
f(x=0)=(1/(e^10)).
Il grafico cresce fino a x=8, rimane inalterato con x=9, x=10, poi inizia a decrescere

ESERCIZIO 2

Distribuzione ESPONENZIALE con parametro lambda=v

2.1)
- Calcolo la derivata e ottengo che è uguale a : v*e ^ (-vx)
- E[D] = 1/v
- mD(y) = v / (v-y)

2.2)
- Grafico di una funzione decrescente che interseca l’asse delle ordinate (x=0) nel punto y=2 e decresce sull’asse delle x a + infinito

2.3)
- E[S(n)] = E(nD)=nE(D)=n/v da cui si ricava v --> v = n / E[Sn]

2.4)

- mSn(y) = E (e^(ys))= E (e^(nyD))= (E (e^(yD)))^n= (mD)^n = [ v / (v-y)] ^ n

ESERCIZIO 3

3.0)
- E[N(t)/t] = 1/t * E[N(t)] = v
- Var[N(t)/t] = v/t

3.1)
- P[N(tmax)=0]= Cn/n
- e^(-v*tmax)=Cn/n ==> v= ln (n/Cn) * 1/tmax

3.2)
v = n / E[Sn]

3.3)
v = E[ N(T)] / T

ESERCIZIO 4


epsilon=v*0,01


Abbiamo : P(|N(T)/T - v| <= v*0.01 ) >= 1 - 0.1

TChebycheff: P(|Z-v|<= epsilon) >=1- [Var(Z) / epsilon^2]

P(|N(T)/T – v |<= epsilon) >=1- [Var(N(T)/T / epsilon^2]
P(|N(T)/T – v |<= epsilon) >=1- [Var(N(T)/T / epsilon^2]
P(|N(T)/T – v |<= epsilon) >=1- [Var(N(T) / epsilon^2 * T] >= 1 – 0,1

1-[Var(N(T) / epsilon^2 * T] >= 1 – 0,1
-[Var(N(T) / epsilon^2 * T] >= – 0,1
[Var(N(T) / epsilon^2 * T] <= 0,1
T >= [Var(N(T) / epsilon^2 * 0,1]

Var(N(T))=v
Come v possiamo usare:
quella del punto 3.1 e quindi: v = ln (30/20) * 0.1 = 0.04
oppure: v = 30/666 = 0.04

T >= [v / epsilon^2 * 0,1]
T >= [(v) / (0.01 * v)^2 * 0,1]

T >= [v / (0.01 * v)^2 * 0,1]

da cui: T >= 0.04 / (0.01*0.04)^2 * 0.1
cioè: T >= 2500000

4,76 anni = 2500000 minuti

freccia

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Qui trovi il testo dell'appello del 11/7/2001

http://laren.usr.dsi.unimi.it/Stat/Esercizi.html

gaffiere

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grazie mille freccia alla fine avrò un po' da fare domani... e speriamo in bene

bubba

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Soluzioni 24/06/2004

Es.I

I.1
f(x) = (e^-vd * vd^x)/x!

per il grafico i valori sono [(e^-2,0);(2e^-2,1);(2e^-2,2);((4/3)e^-2,3);((2/3)e^-2,4)]

I.2
E[x(d)] = vd
var[x(d)] = vd

I.3
Il rapporto vale 1 chiaramente

I.4
a: I punti massa sono ricavabili sostituendo cx a y (sarà più chiaro dopo...spero)

b: E[cx] = cE[x] = cv
var[cx] = v(c^2)
c: NO non segue una poisson lo si evince dai punti massa...fate attenzione che inserendo una costante non si altera di poco la distribuzione (nell'es 5 sarà più chiaro)

I.5
a: P(y>2) = 1- P(y<=2) = 1- P(y=0) - P(y=1) - P(y=2) =
1 - e^-2 - 0 - 2e^-2

ber questo grafico i punti massa saranno
[(e^-2,0);(0,1);(2e^-2,2);(((2/3)*2^1/2)e^-2,3);(2e^-2,4)]
e li potete trovare considerando ad esempio per il punto 0
P(y=0) = P(2x=0) = P(x=0) = e^-2 e così via
Qui spero sia chiaro che i punti massa dell'esercizio precedente non seguano una poisson..

Es.II

II.1
Se fisso E = r*sigma(d) ottengo facilmente una minorante tramite tchebycheff
P(|D - E[D]|<E )>= 1 - (var[D]/E^2)

II.2
a:E[Dmedio] = E[D] ; var[Dmedio] = 1/n*var[D]
ber dimstrare questo punto basta sostituire a var[D]
n*var[Dmedio] visto che lo abbiamo appena trovato e poi è facile dimostrare tramie tchebycheff considerando S*n^1/2 = r

Es.III

III.1
Quello che c'è da specificare sono le condizioni di una poisson in pratica cioè che suddivido l'intervallo (0,t) in tanti intervallini in modo che possa avvenire al massimo un evento all'interno dell'intervallo...questo è quello che io avevo tra gli appunti
P(#[(x,x+h)]=1) = h+o(h)
P(#[(x,x+h)]>1) > o(h)
(x1, y1)(x2, y2) = Phi(insieme vuoto)

III.2
f(K) = 1/K! * v^k* e^-v

III.3

a: y = 2X(1)
b: E[y] = 2v
c: var[y] = 4v = 2^2 var[x]
d: P(X(1)>1) = 1 - P(X(1)<=1) = 1- e^-v - 2e^-v = 1- e^-2 - 2e^-2 = 1 -3e^-2 dato che v = 1000/500

III.4
a: Per stimare uso la madia campionaria di y quindi 1/10 *32 = 3.2 data da 1/n che sono le passegiate conteggiate e 32 dato dalla somma dei valori dati nel tema

b: mancante...scusate ma è troppo tardi è stò sbiellando...domattina ci penso e lo posto comunque dovrebbe essere sulla falsa riga di quanto fatto...magari usando la varianza campionaria

III.5
si risolve con tchebycheff
P(|Ymedio - miy|< 1/2 sigmay)>= 0.95
0.05 = 1/n(S^2) e dato che S= 1/2 allora
n= 4/0.05 = 80

è tutto o quasi adesso vado a durmì...se riuscite postate voi quello che manca e che mi è sfuggito....a domani...