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esercizio n.2.3 : abbiamo una somma di variabile poissiane indipendenti. R = M + N . Quindi avendo M e N variabili casuali indipendenti , la funzione generatrice dei momenti è dato dal prodotto delle funzioni generatrici dei momenti di ogni singola v.c. poissiana facente parte dalla somma. Nel nostro caso, la somma è composta da due variabili casuali M e N ; la funzione generatrice della somma è data dal prodotto tra la funzione generatrice dei momenti della variabile aleatoria poissiama M e la funzione generatrice dei momenti della v.c.possiana N. Applicando ciò che abbiamo detto la funzione generatrice dei momenti della variabile R è data da e^{(e^t-1)(λm+λn)}

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2.4. Guardando al punto precedente, si può dire che la somma di due variabili casuali poissiane di parametri λn e λm da come risultato una nuova variabile poissiana di parametro che è dato dalla somma dei singoli parametri . R è quindi una poissiana di parametro λn + λm.

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Come avete risolto il punto 1 dell'esercizio n.3 ??? io ho eguagliato le legge di probabilità delle due variabili e valutando tali leggi in un punto qualsiasi ad esempio 50. Risolvendo tutto cosa ho trovato il valore atteso che è pari a 50 ma non ne sono proprio sicuro.

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sappiamo che per λ abbastanza grande una variabile Poissiana di parametro λ può essere approssimata ad una normale di valore atteso λ e varianza λ.
Quindi poniamo Z = la variabile normale che approssima la variabile di Poisson di parametro λ = 25 allora, Z = (X - 25)/ (√25) = (X - 25) / 5 è la variabile normale che approssima X. Dobbiamo quindi calcolare la probabilità P[X > 20] in termini di questa nuova variabile. Riscrivo la P[X> 20] in termini di tale variabile Z. Per fare ciò devo quindi sottrarre a 20 il valore atteso della Poissiana e poi dividere la differenza per la derivazione standard in questo modo :
P[Z > (20 - 25)/√5] che equivale a dire di calcolare la probabilità che una variabile normale assuma valori maggiori di -1 , cioè si deve calcolare la P[Z > -1 ]. Come si può scrivere questa probabilità??? La risposta è la seguente 1- P[Z<=-1] = 1- Θ(-1) . Essendo Θ(1) = 1- Θ(-1) implica che -Θ(-1) = -1 + Θ(1) che equivale alla seguente espressione Θ(-1) = 1- Θ(1). Guardo il valore Θ(1) in tabella e ottengo che 1- 1+Θ(1) = 0,8413, dove abbiamo indicato con il simbolo Θ la funzione di ripartizione di una variabile casuale normale.

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Originally posted by middu
sappiamo che per λ abbastanza grande una variabile Poissiana di parametro λ può essere approssimata ad una normale di valore atteso λ e varianza λ.
Quindi poniamo Z = la variabile normale che approssima la variabile di Poisson di parametro λ = 25 allora, Z = (X - 25)/ (√25) = (X - 25) / 5 è la variabile normale che approssima X. Dobbiamo quindi calcolare la probabilità P[X > 20] in termini di questa nuova variabile. Riscrivo la P[X> 20] in termini di tale variabile Z. Per fare ciò devo quindi sottrarre a 20 il valore atteso della Poissiana e poi dividere la differenza per la derivazione standard in questo modo :
P[Z > (20 - 25)/√5] che equivale a dire di calcolare la probabilità che una variabile normale assuma valori maggiori di -1 , cioè si deve calcolare la P[Z > -1 ]. Come si può scrivere questa probabilità??? La risposta è la seguente 1- P[Z<=-1] = 1- Θ(-1) . Essendo Θ(1) = 1- Θ(-1) implica che -Θ(-1) = -1 + Θ(1) che equivale alla seguente espressione Θ(-1) = 1- Θ(1). Guardo il valore Θ(1) in tabella e ottengo che 1- 1+Θ(1) = 0,8413, dove abbiamo indicato con il simbolo Θ la funzione di ripartizione di una variabile casuale normale. é gisusto come ragionamento ????

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punto n. 1 del problema IV noi sappiamo che affinchè tale diseguaglianza è verificata, nel caso generale deve succedere che
n >= (varianza(X) / Δ * €^2) . Sapendo che € = r *√var(X) implica che €^ 2 = r^2 * var(X) . Sostituendo i valori nella nostra disquaglianza : n>= (var(x)/(Δ * r^2 * var(X))). Semplificando dove possiamo otteniamo n>= 1/Δ * r^2 da cui n>= (r^-2) * Δ^-1 che è la condizione essenziale affinchè sia vera la diseguaglianza di partenza

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punto n.2 del problema IV : basta fare una sostituzione dei valori di Δ e r nella formula ottenendo che n>= 80

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punto 4.3 si chiede di associare i relarivi grafici . Ragionando sopra io so che quando n aumenta il grafico della distribuzione tende ad essere normale . quindi secondo me più il valore di n tende ad essere un numero grande, allora il grafico di qualsiasi distribuzione tende ad essere di più una distribuzione normale . Quindi a me n = 10 il grafico associato è il grafico di figura c. Se n = 1 il grafico è quello di figura 3.1 e se n=2 allora il suo grafico è quello di figura 3.2

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come avete risolto il punto 4.3 B??? Io pensavo ad una cosa del genere : so che n >= var(X)/ delta * €^2 . Se poniamo r = 0,5 -----> n >= ???? bho ci si ritorna dopo

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Prima condizione formale che possiamo fare è quella che la probabilità che troviamo una pietra presente in un quantità di acqua h è approssimativamente uguale a vh + o(h)
la probailita di trovare due impurità presenti in un campione di acqua h è trascurabile rispetto alla probilità di trovare un'inpurità in un campione d'acqua h.
il numero di impurità trovati in campioni sovrapposti di acqua sono indipendenti.

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5.2 : indicheremo con Sn = il numero di impuritità di tipo A trovate in 5 taniche da 10 litri ciascuno . In ogni 10 litri di acqua raccolta, il numero medio di piccole pietre in 10 litri d'acqua è Sn/ numero di taniche raccolte => 78 / 5 = 15,6 di piccole pietre trovate in ogni 10 litri di acqua.

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per poter verificare che uno stimatore è non distorto dobbiamo verificare che il valore atteso E[SN/n] coincide con il parametro da stimare e quindi con λn . Calcoliamo E[Sn/n] = 1/n * E[Sn] = 1/n * ∑E[Ni] dove Ni rappresenta il numero di piccole pietre che si trovano nei 10 litri i-esimi. Quindi N è una variabile Poissiana ------> 1/n∑ E[Ni] = 1/

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per poter verificare che uno stimatore è non distorto dobbiamo verificare che il valore atteso E[SN/n] coincide con il parametro da stimare e quindi con λn . Calcoliamo E[Sn/n] = 1/n * E[Sn] = 1/n * ∑E[Ni] dove Ni rappresenta il numero di piccole pietre che si trovano nei 10 litri i-esimi. Quindi N è una variabile Poissiana ------> 1/n∑ E[Ni] = 1/n * n λn = λn che coincide con il parametro da stimare. In conclusione lo stimatore scelto è non distorto. Per quanto riguarda la consistenza si deve procedere per due passi : devo stabilire se ha consistenza semplice oppure consistenza quadratica . Devo calcolarmi due limiti : il limite di n---> ad infinito della varianza e il limite di n---> infinito del errore quadratico medio. Comincio a calcolare limite di n ---> ad infinito della varianza e stabilisco se è consistente . lim n---> infinito var(Sn/n) = lim n -> infinito (1/n*n) * varianza (Sn) (1/n*n) n * var(Ni) = lim n---> infinito 1/n * λn = 0 in quanto 1/n = 0 La consistenza quadratica è calcolata come lim n---> infinito di Errore quadratico medio lim n---> infinito var(Sn/n) +{λn - E[Sn/n]} = lim n--> infinito var(Sn/n) = 0, in quanto sappiamo dal precedente calcolo il limite per n --> ad infinito è uguale a 0. Quindi lo stimatore scelto è : non distorto e a una consistenza media quadratica

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n >= 1/(1/4)* (5/100) e mi trovo n che rappresenta il numero di litri che devo raccogliere. n>= 80 . Per trovare il numero di taniche richiesto basta semplicemente dividere 80 per il numero di litri che io ho raccolto, trovando così il numero totale di taniche : 80/10 = 8

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per stimare λr propongo la seguente strategia : so di aver raccolto 16 taniche, che sono troppe, a mio avviso e ho trovato 400 impurità . per stimare λr basta calcolare 400/16 = 200 / 8 e troviamo che in ogni 10 litri in media abbiamo 25 impurità