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Polsy |
.arcimaestro.
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Originally posted by Bemipefe
Forse ci sono ..... vediamo se riesco a fare questa:
Allora ....
Ti spiego un attimo..... in pratica A_n è l'insieme che contiene tutti gli insiemi A che rispettano quella proprietà , e poi mi chiede se la cardinalità di A_n = 2^n-1
Base Induttiva
n = 1
A è sottoinzieme di {1}
Quindi A_n = { {1} } e |A_n| = 2^n-1 = 2^0 = 1
Vera
fin qui perfetto
Principio Induttivo
Si può notare che l'insieme A_n è un sottoinsieme dell'insieme P({1...n}) , cioè è sottoinsieme all'insieme delle parti di {1...n}.
Infatti in A_n ci sono tutti i sottoinsiemi di {1....n} meno alcuni inziemi.
Gli insiemi che mancano sono quelli che contengono gli elementi isolati da 2 a n ossia gli elementi del tipo {2}, {3} .....fino a {n}, che non rispettano 1 appartiene ad A
Se da 1 a n ci sono n elementi da 2 a n si possono costruire (n-1) sottoinsiemi contenenti i singoli elementi da 2 a n.
In più l'insieme A_n rispetto a P({1-n}) non contiene l'insieme vuoto quindi l'insieme A_n contiene [(n-1)+1] elementi (+1 riguarda il vuoto) , rispetto a P({1...n}).
Visto che la cardinalità di P({1...n}) è 2^n la cardinalità di A_n è:
2^n - [(n-1)+1] = 2^n - n
Ma effettivamente 2^n -n = 2^(n-1)
Tranne l'impostazione credo che il principio attivo (ragionamento logico) sia efficace. Tu che dici?
qua hai fatto un po' della fantamatematica 
ci sono 2 errori matematici e uno di forma
quelli matematici sono che prima di tutto 2^(n-1) non è uguale a 2^n -n, se vuoi scomporlo in modo da evidenziare il 2^n dovresti scrivere (2^n) / 2
inoltre gli insiemi per cui A_n differisce da P({1...n}) non sono solo quelli unitari da 2 a n, ma anche insiemi del tipo {2,5} o {3,n-7,n} etc.
l'errore di forma è che anche ammettendo la correttezza delle formule questa non è una dimostrazione "per induzione", per esserlo devo partire dal caso n-1
fai così:
- ammettendo che la proprietà sia vera per n-1 (ipotesi induttiva) quale sarà la cardinalità di A_(n-1) ?
- per ottenere A_n quali (e quindi quanti) insiemi devi aggiungere a quelli che hai in A_(n-1) (di cui conosco la cardinalità)?
- il risultato che ti viene fuori è 2^n-1? se si congratulazioni  se no riguarda i conti
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Bemipefe
