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BlueHeaven |
.fedelissimo.
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Tema 7 aprile 2004
Porca..ho sbagliato data il tema è di aprile!!
Posto qui i primi tre esercizi sperando che qualcuno verifichi:
ESERCIZIO 1
Sinceramente non sono sicuro, ma mi sono aggrappato banalmente al valore atteso: essendo una distr. esponenziale E(x) = 1/λ ma l'es. pone E(x) = μ => 1/λ = μ => λ = 1/μ
1) Funzione di ripartizione (da MGB 124)
F(x) = 1 - e^(-λx) = 1 - e^(-x/μ )
Densità:
f(x) = λe^(-λx) = 1/μ e^(-x/μ )
Funzione Generatrice Momenti
m(x) = λ/(λ-t) = (1/μ )/ (1/μ - t) = 1/(1-1/μt)
2) E(x) = μ; E(-x) = -E(x) = -μ;
var(x) = 1/λ^2 = μ^2; var(-x) = (-1)^2 var(x) = μ^2;
3) m(-x) = E(e^(t(-X))) = E(e^((-t)X)) quindi sostituisco semplicemente t con -t => m(-x) = 1/(1+1/μt) comunque anche calcolando l'integrale viene lo stesso risultato
ESERCIZIO 2
x e y seguono la stessa distribuzione e sono indimpendenti => hanno lo stesso valore atteso e varianza [E(x) = E(y); var(x) = var (y)]
D = x - y
1) E(D) = E(x-y) = E(x) - E(y) = 0
2) var(D) = var(x-y) = var(x) + var(-y) + cov(x,-y) ma essendo indipendenti la covarianza vale zero => var(D) = var(x) + var(-y) = var(x) + var(y) = 2μ^2
3) m(D) = E(e^tD) = E(e^t(x-y)) = E((e^tx)(e^-ty)) = E(e^tx)E(e^-ty) = [entrambi già calcolati] 1/(1-1/μt) * 1/(1+1/μt) =
1/(1-1/μ^2 t^2)
ESERCIZIO 3
S = ΣD (per n che va da 1 a n)
essendo identicamente distribuite e indipendenti => S = nD
1) E(S) = E(nD) = nE(D) = n*0 = 0;
2) var(S) = var(nD) = n^2 var(D) = 2μ^2n^2
σ = √(2μ^2n^2) = √2μn si tiene solo il valore positivo
3) S* = S/σ = nD/(√2μn) = D/(√2μ ) e qui mi sembra strano perchè poi la domanda successiva mi chiede il limite per n->∞ ma n se ne è andato!
m(S*) = E(e^tS*) = E(e^tD/(√2μ )) e e qui non so andare avanti..potrei ipotizzare [1/(1-1/μ^2 t^2)]^(1/√2μ ) ma mi semba parecchio brutto
4) qualche anima pia?
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"...no black and white in the blue..."
Last edited by BlueHeaven on 09-01-2006 at 13:19
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