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data f_n(x)=(1-x^2)/n con E[-1,1]

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Guarda nell'area filez! Ci sono un sacco di esempi di questo genere.

Comunque eccoti spiegato passo passo come fare:

1) L'insieme di convergenza puntuale è l'insieme di quegli x appartenenti ad E, tali per cui il limite (per n che tende a più infinito) di f_n(x) esiste ed è finito. Ovvero, quegli x la cui immagine f_n(x), per x molto grandi, si avvicina sempre ad un punto (il limite finito appunto)

Perciò calcola il lim (n-->infinito) [(1-x^2)/n].
La funzione è uguale a (1+x)(1-x) / n.

2)Ora, per quali x tale limite è finito? Beh, dipende! Infatti come puoi ben notare per x=1 e x=-1 il numeratore si annulla, quindi in questi casi il lim è =0. Però anche per -1<x<1 vedi bene che il lim è 0, perchè nel numeratore x^2 tenderà sempre più a 0, perciò resterebbe (1/infinito), che va appunto a 0.
Per x>1 e per x<-1 vedi bene che il lim per n--> infinito va a - infinito, perchè (1+x) e (1-x) vanno a più o meno infinito rispettivamente, mentre n va a infinito! Semplifichi le due quantità + infinito e ti resta un - infinito, che è appunto il limite.

3)Puoi allora scrivere che S, l'insieme di convergenza puntuale = [-1,1] estremi inclusi.

Su questo intervallo c'è anche convergenza uniforme?
Per vederlo, calcola l'estremo superiore (per x appartenente a S) |f_n(x) - f(x) | , in valore assoluto. f(x) è la funzione limite (che è 0, abbiamo visto che per [-1,1] la funzione tende a 0!).

Quindi puoi riscrivere come:

Sup | f_n(x) | con x appartenete a S. Ma se x appartiene ad S, allora la funzione assumerà sempre valori positivi (il denominatore è sempre positivo, ma anche il numeratore della f_n(x).
Perciò riscrivo come:

Sup f_n(x) con x appartenente ad S. Ora, come fai a vedere qual è il massimo valore che la funzione assume? Provi a disegnarla su un grafico.

4) Innanzitutto, il dominio delle x è [-1,1], quindi butta via tutto il resto. Guarda come la funzione arriva agli estremi, ovvero in 1 e in -1. Vedrai che ci arriva esattamente in due punti, ovvero nei punti (-1,0) e (1,0). Ok?

5) Ma se la funzione parte da (-1,0) e arriva a (1,0) vuol dire che la funzione per un certo tempo crescerà, poi inizierà a decrescere fino a terminare nel punto (1,0), giusto?

6) Per studiare la monotonia della funzione, devi lavorare sul campo delle derivate prime. Quindi devi calcolarti la f_n' (X), cioè la derivata della funzione f_n(x).
Troverai facilmente che f_n' (x) = (-2x) / n.

Ora, una regola ci dice che una funzione è crescente quando la sua derivata prima è maggiore di 0, è decrescente quando la sua derivata prima è minore di 0, e presenta un punto di massimo/minimo quando la sua derivata è = 0.

Puoi notare allora senza fare troppi calcoli che, per x> 0, la derivata prima è minore di 0, quindi descrsce, per x<0, la funzione invece cresce. Pertanto il punto x=0 è il punto in cui la funzione raggiunge il suo valore più alto.
E quale è questo valore? Sostituisci il valore x=0 dentro la funzione f_n per trovare il valore della funzione, e ottieni f_n (0) = 1/n.
1/ n rappresenta quindi il Sup delle f_n, ovvero il valore più alto che la funzione, al variare di n, assume.

7)Per il teorema della convergenza uniforme, importantissimo e che ti servirà per tutti gli esercizi, io so che se il lim per n --> infinito di questo Sup è uguale a 0, allora avrò convergenza uniforme!

Calcola il lim (n--> infinito) (1/n) = 0!

8)Quindi: sull'insieme di convergenza puntuale S c'è anche convergenza uniforme!

N.B. Potevi saltare in questo caso tutti i passaggi con la derivata per il calcolo del SUp, dato che questa funzione in esame era molto semplice.
Infatti, se tu devi calcolare quale è il valore massimo che la funzione (1-x^2)/n assume nell'intervallo [-1,1], sai bene che, essendo una frazione, dovrai trovare quell' x per cui il numeratore assume il valore più alto e per cui il denominatore assume il valore più basso (per massimizzare la funzione giusto? Il numero che trovi è più alto tanto più grande sarà il valore del numeratore e tanto più piccolo sarà il valore del denominatore! ).
Ora, al denominatore non puoi farci nulla perchè la x non compare, però nel numeratore vedi già da subito quale è il valore della x che massimizza, cioè conferisce il valore più alto al numeratore (considera sempre che stiamo studiando la convergenza su [-1,1]. Questo valore sarà appunto 0 (in questo caso il numeratore è uguale a 1! Per le altre x comprese tra -1 e 1 ti accorgi invece che da 1 togli sempre delle piccole quantitià, fino ad arrivare al caso massimo in cui per x =1 o x=-1, il numeraotre si annulla.

Quindi, ad occhio, vedi che il valore massimo che può assumere la funzione è 1/n. E da qui procedi come visto, ma ti risparmi un sacco di passaggi!

Spero di esserti stata d'aiuto!

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ma la Cavaterra spiega come te a Lezione? O sono io che quando seguivo le lezioni non capivo assolutamente nulla?

Se spiegasse cosi come hai scritto te credo che avrei dato l'esame gia un bel po' di tempo fa... grazie mille, ti devo un caffè!

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Randall

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Originally posted by 0m4r
ma la Cavaterra spiega come te a Lezione? O sono io che quando seguivo le lezioni non capivo assolutamente nulla?

Se spiegasse cosi come hai scritto te credo che avrei dato l'esame gia un bel po' di tempo fa... grazie mille, ti devo un caffè!

La Cavaterra a lezione spiega a velocità cannone.
Va come una scheggia, pensando che noi siamo tutti dei matematici tipo John Nash, per cui tutto è ovvio.
Abbiamo provato a chiederle di rallentare, e in significato della sua risposta è sì, potrei farlo ma non lo faccio .

In poche parole, se ne è sbattuta le balle.

Ciao
Ste

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Esatto, la prof va molto veloce, non bisogna perdere neppure un secondo altrimenti ti salta tutto!
Quello che sto verificando è che è meglio scrivere tutto, anche le cose che non si capiscono, perchè comunque poi rileggendo a casa con calma il tutto risulta molto più comprensibile!

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Credo proprio che noi studenti siamo dei coglioni. Dovremmo imporci e chiedere alla prof di rallentare e fornirci ulteriori spiegazioni dato che è pagata per insegnare e non per mostrarci i sui muscoli matematici. Se non sbaglio la prima rata è di 614 euro o sbaglio?

Che vergogna!

Randall

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Allora insistiamo, a lezione continuiamo a chiederle di rallentare.

Ciao
Ste

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quando non c'è convergenza uniforme...

ciao Flavia,ti ringrazio per il bellissimo lavoro che stai facendo e colgo l'occasione per chiederti un'altra spiegazione:nei tuoi appunti del 18ottobre2005 all'ultima pagina viene preso in analisi un caso in cui non c'è la convergenza uniforme.cosa significa trovare un possibile sotto insieme togliendo un intorno?

spero tu possa aiutarmi perchè qui è un caos.grazie

Flavia

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Certo!
In pratica, a lezione abbiamo visto che se, su un dato intervallo non c'è convergenza uniforme, tale convergenza uniforme non ci sarà nemmeno se da questo insieme tolgo un SOLO punto.
Ad esempio, se io so che su (0,1] (estremo 1 incluso quindi) non c'è convergenza uniforme, allora nemmeno sull'intervallo (0,1) (estremo 1 escluso) ci sarà convergenza uniforme. In pratica, il problema non viene risolto se tolgo un SOLO punto.

Potrò avere invece convergenza uniforme se tolgo un insieme di punti (e, se consideri che i numeri reali sono infiniti, togliere un insieme di punti è come togliere un insieme infinito di punti, perchè i numeri reali sulla retta sono "densisssimi"! ). Ovvero, tolgo un "intorno" dell'estremo. Per intorno intendo un insieme di punti molto vicino al punto che io sto considerando.
Ad esempio, un intorno del punto 1, sarà l'insieme (1-p;1+p), dove p è una quantità maggiore di 0, anche piccola. Tale insieme indica infatti che io tolgo un po'di punti sia e destra che a sinistra del punto 1, quindi non tolgo solo quello, ma anche un po'di punti che ci stanno intorno (l'intorno del punto, appunto! )

Ok, quindi, per questa osservazione che la prof ha fatto a lezione senza dimostrarla, accade che, se sul famoso intevrallo (0,1] non c'è convergenza uniforme e che se nemmeno su (0,1) c'è tale convergenza uniforme, questa ci sarà solo per tutti gli insiemi del tipo (0,k] , per qualsiasi 0<K<1! Ovvero, è come se scrivessi che c'è convergenza uniforme solo sugli insiemi (0, 1-k), per qualunque 0<k<1!

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grazie ora il concetto è chiaro, ma perchè hai deciso di togliere i punto intorno a 1 e non a 0?
Puoi fare qualche altro brevissimo esempio con una breve spiegazione?

spero di essere stato chiaro...cmq grazie mille 6 super

CUBA

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forse ci sono arrivato, è perchè l'intervallo era (0;1] ? cioè decido di togliere l'intorno da dove vedo che è presente la parentesi quadra?

Flavia

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Mmm..si, diciamo che "la parentesi quadra" centra! Comunque magari ti rispondo bene stasera!


Edit: Allora, praticamente non ho tolto alcun intorno dello zero semplicmente perchè lo zero non fa parte dell'intervallo di convergenza, quindi perchè mai togliere un intorno di un punto su cui comunque non c'è convergenza puntuale?

Se invece l'insieme fosse stato appunto [0,1] allora avresti dovuto togliere sia un intorno del punto 0 che del punto 1 (credo.. ). Praticamente il fatto che ci sia una parentesi [ ] vuol dire che quel punto è compreso, quindi i problemi ci saranno per colpa di quegli estremi.

Ad esempio, se hai che su R non c'è convergenza uniforme, allora un possibile insieme su cui ci sarà convergenza uniforme è [-k,k], ovvero qualsiasi insieme limitto di R, perchè devi proprio allontarti dagli estremi (ovvero + e - infinio!).

Non so se sono stata chiara!

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Last edited by Flavia on 08-11-2005 at 17:48