.dsy:it. - Soluzioni tema d'esame 06/07/2010

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Posted by Dattebayo on 09-07-2010 14:28:

Soluzioni tema d'esame 06/07/2010

Ehilà, c'è qualcuno che ha seguito la correzione ed è in procinto di postare le soluzioni?

Posted by *°§_-??? on 10-07-2010 11:58:

Esercizio 1:

code:      -1      se n=b-2
h(n)= 1/(1-a) se n=1
      0       altrimenti

Un filtro è causale quando h(n) = 0 ∀ n < 0;
in questo caso valido se b-2 ≥ 0 e quindi b ≥ 2

Un filtro è stabile quando la somma di |h(n)| ∀ n ∈ R è un valore minore di ∞;
in questo caso verificato se |1/(1-a)|< ∞ e quindi 1-a ≠ 0 ⇒ a ≠ 1

dati a = 3, b = 4

code:      -1     se n=2
h(n)= -1/2   se n=1
       0     altrimenti

h(n) = -δ(n-2) - 1/2 δ(n-1)

       3     se n=0,1
x(n)= -1     se n=-1
       0     altrimenti

x(n) = -δ(n+1)+3δ(n)+3δ(n-1)

risolvo tramite le trasformate Z

code:X(z) = -z+3+3z^(-1)
H(z) = -z^(-2)-1/2 z^(-1)

Y(z) = H(z)X(z) = -3z^(-3)-9/2 z^(-2)-1/2 z^(-1)+1/2
y(n) = -3δ(n-3)-9/2 δ(n-2)-1/2 δ(n-1)+1/2 δ(n)

Esercizio 2:
Un segnale x(t) è limitato se posso definire che: ∃ N ∈ R t.c. |x(t)| ≤ N ∀ t
Un segnale x(v) è a banda limitata se posso definire che: ∃ B ∈ R t.c. |x(v)| ≠ 0 solo in valori |v| ≤ B

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:pccrash:

Posted by *°§_-??? on 10-07-2010 12:17:

Esercizio 3:

code:f(t) = 1200sinc(1200t)+cos(2000πt)
F(v) = 1200/1200 rect(v/1200)+1/2[δ(v-1000)+δ(v+1000)]

applico la modulazione in ampiezza 2cos(4000πt) che in v diventa: 2*1/2 [δ(v-2000)+δ(v+2000)]

code:G(v) = rect[(v+2000)/1200] + rect[(v-2000)/1200] + 1/2 δ(v-1000) + 1/2 δ(v+1000) + 1/2 δ(v-3000) + 1/2 δ(v-3000)

Per poter campionare senza problemi di Aliasing bisogna tagliare quelle frequenze che darebbero problemi; più precisamente va applicato un filtro passa-basso ad una frequenza pari alla metà della frequenza di campionamento.
In questo caso il campionamento va effettuato a 5000Hz e il filtro passa-basso deve tagliare a ±2500Hz.

Si rappresentava graficamente il segnale prima e dopo l'applicazione del filtro.
...Non ricordo se c'era altro in questo esercizio...

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Posted by *°§_-??? on 10-07-2010 13:09:

Esercizio 4:

code:y(n) = x(n-2) + x(n-3) + y(n-1) - 1/2 y(n-2)
Y(z) = z^(-2) X(z) + z^(-3) X(z) + z^(-1) Y(z) - 1/2 z^(-2) Y(z)
[1-z^(-1)+1/2 z^(-2)] Y(z) = [z^(-2) + z^(-3)] X(z)

H(z) = Y(z)/X(z) = [z^(-2) + z^(-3)]/[1-z^(-1)+1/2 z^(-2)]

normalizzo moltiplicando per z^3 /z^3

code:H(z) = [z + 1]/[z^(3)-z^(2)+1/2 z]

I poli/radici vanno estratti dal denominatore che in questo caso risulta essere un'equazione di 3°grado, quindi presenterà 3 soluzioni.

code:z^(3)-z^(2)+1/2 z = z(z^(2)-z+1/2 )
risolvo:

z(z^(2)-z+1/2 ) = 0 se

z = 0               oppure
z = [1 ± sqrt(1-4/2)]/2 = (1 ± i)/2

risulterà stabile se i valori in modulo delle radici trovate saranno < 1; controllo:

code:|z| = 0 < 1

|z| = |(1 + i)/2| = sqrt(1/4 + 1/4) = 1/sqrt(2) < 1

|z| = |(1 - i)/2| = sqrt(1/4 + 1/4) = 1/sqrt(2) < 1

Quindi è stabile. L'ultimo punto chiedeva di calcolare il guadagno a delle frequenze date in caso di campionamento a vc = 200Hz

code:Guad = |H[e^(i2πΩ ) ]|^2
dove Ω = v / vc

v = 0, 50, 100 Hz
Ω = 0, 1/4, 1/2

H(z) = [z + 1]/[z^(3)-z^(2)+1/2 z]

Guad (Ω=0)   = |H[e^(0) ]|^2 = |H[1]|^2 = 
             = |[1 + 1]/[1^(3)-1^(2)+1/2*1]|^2 =
             = |2/ 1/2|^2 = 4^(2) = 16

Guad (Ω=1/4) = |H[e^(iπ/2) ]|^2 = |H[i]|^2 =
             = |[i + 1]/[i^(3)-i^(2)+1/2 i]|^2 =
             = |[i + 1]/[-i-(-1)+1/2 i]|^2 = |[i + 1]/[-1/2 i+1]|^2 =
             = |[i + 1]/[1-1/2 i]*[1+1/2 i]/[1+1/2 i]|^2 = |(i + 1)*(1+1/2 i)/[1+1/4]|^2 =
             = |(1+1/2 i+i-1/2)/[5/4]|^2 = |(1/2+3/2 i)/[5/4]|^2 =
             = |2/5+6/5 i|^2 = sqrt[(4+36)/25]^2 = 40/25 =
             = 8/5

Guad (Ω=1/2) = |H[e^(iπ ) ]|^2 = |H[-1]|^2 =
             = |[-1 + 1]/[-1^(3)-(-1)^(2)+1/2*(-1)]|^2 =
             = |0 /[-1-1-1/2]|^2 = |0 /[-5/2]|^2 =
             = |0|^2 = 0

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Posted by Dattebayo on 10-07-2010 18:34:

Grazie mille

Posted by Danny on 14-01-2011 17:21:

Ma questo è l'esame di elaborazione dei segnali del prof Bertoni?
io lo ho questo semestre.... :-/

Posted by *°§_-??? on 15-01-2011 09:40:

Quando ho fatto l'esame io (luglio 2010) mi risulta che l'esame di elaborazione numerica dei segnali fosse unico sia per la Campadelli che per Bertoni (al massimo se c'erano tanti che passavano lo scritto poi si dividevano sul momento agli orali gli studenti).

Però tieni conto che era il vecchio ordinamento non so se adesso è cambiato qualcosa.

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Posted by Danny on 15-01-2011 10:12:

e, mi sa, ora la materia si chiama solo elaborazione dei segnali, quella che hai fatto te è una "versione" più approfondita e c'è solo il prof bertoni.
Meglio così, mi sembrava piuttosto difficile....

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