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Posted by holylaw on 10-05-2003 09:18:

Domandina matematica

In un angolino remoto del mio libro di Algoritmi ho scritto log(n!)=(n/2)log(n/2). Dato che non ho la minima idea di come arrivare a questa conclusione mistica ma lo vorrei tanto sapere, qualcuno che lo sa sarebbe così cortese da postare i passaggi pls???

Tnx

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La mia epoca ed io non siamo fatti l'uno per l'altro:questo è chiaro. Ma è da vedere chi di noi due vincerà il processo di fronte al tribunale dei posteri.
AV MJØDEN VART DU VIS OG KLOK, SÅ DREKKA MER!!!!
Le persone sagge parlano perché hanno qualcosa da dire.
Le persone sciocche perché hanno da dire qualcosa.

Posted by CXX on 12-05-2003 23:11:

Re: Domandina matematica

Originally posted by holylaw
In un angolino remoto del mio libro di Algoritmi ho scritto log(n!)=(n/2)log(n/2). Dato che non ho la minima idea di come arrivare a questa conclusione mistica ma lo vorrei tanto sapere, qualcuno che lo sa sarebbe così cortese da postare i passaggi pls???

Tnx

Ciao

Allora l'uguaglianza chiaramente non é vera perché ad esempio per n=1 abbiamo log(1!) = log1 = 0 mentre 1/2*log(1/2) <0
e neppure per n=2 perché 2/2 * log(2/2) = 0 mentre log(2!)=log2 > 0

Io direi che log(n!) = log (1*2*3* ... *n) = log1 + log2 + log3 + .... + logn per una nota proprietà dei logaritmi

Usando una stima integrale per la somma dei logj si ha che questa é compresa tra nlogn-n e (n+1)log(n+1)-n.

Se dividiamo queste due espressioni per (n/2)log(n/2) otteniamo al limite per n che tende a infinito 2 in entrambi i casi.

Pertanto per il teorema del confronto o dei carabinieri anche log(n!) / (n/2)log(n/2) tenderà a 2 per n che va all'infinito.

Quindi log(n!) é equivalente o asintotico a nlog(n/2) e si scrive log(n!) ~ nlog(n/2) mentre risulta essere O( (n/2)log(n/2) ) per n che tende all'infinito.

Pertanto credo che ci sia un errore nella tua formula
Cya

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Claudio

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