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sottospazio complementare!?

Sia R3 lo spazio vettoriale delle terne di numeri reali e sia
W ={(a,b,c) | a+b=0 e a+2b-c=0 con a,b appartenenti a R}
Si determini un sottospazio complementare di W (ovvero un sottospazio T di R3 tale che T +W = R3 e TintersecatoW = {0}

qualche idea?

zero......

ma di ke corso sei?? bianchi spero, perkè se la turrini mette sta roba nel terzo io muoio

Originally posted by PrizeD
zero......

ma di ke corso sei?? bianchi spero, perkè se la turrini mette sta roba nel terzo io muoio

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Eidolon64|Blog

sicuramente bianchi visto che è di com.dig.

ho seguito con la Bianchi...cmq qst esercizio mi pare k fosse tra quelli proposti sul sito della Turrini... non ne sono sicura però...

Posto la soluzione per gli informatici:

W è tale che a+b=0 e a+2b-c=0 quindi se li metto a sistema ottengo:

a=-b
c=a+2b => c=-b+2b=b
e pongo b uguale ad un parametro arbitrario t € R (b=t)

quindi ho che un vettore generico W può essere espresso come (-t,t,t) e tirando fuori la t ottengo l'espressione come combinazione lineare:
(-t,t,t) = t*(-1,1,1) che essendo sicuramente indipendente poichè è solo 1 vettore è anche una base di W.

Adesso devo trovare T int. W = {0} quindi è come dire la base di W e le basi di T devono darmi 0:

x*(-1,1,1)+y*(a,b,c) = (0,0,0)
il sistema è il seguente:
-x+ya=0
x+yb=0
x+yc=0
da cui:
a=x/y
b=-x/y
c=-x/y
e quindi il mio vettore diventa:
(x/y,-x/y,-x/y) e quindi può essere espresso come combinazione lineare di:
x/y*(1,-1,-1) e quindi essendo x/y un valore reale abbiamo trovato una base per W int. T infatti se notate questa base è l'opposto di quella di W e quindi nn troverete elementi comuni tra i due sottospazi.
e lo spazio T può essere espresso secondo la legge: (a,b,c) € R3 | b=-a, c=-a (oppure a+b=0 , a+c=0)

ora possiamo dire che T+W = R3 significa:
t*(1,-1,-1)+w*(-1,1,1) = (x,y,z) (che è un vettore qualsiasi di R3)
il sistema:
t-w=x
-t+w=y
-t+w=z
da cui:
x=t-w, y=z (per la transitività dell'uguaglianza)
posto y parametro arbitrario si ha:
(t-w,y,y) la cui combinazione lineare è: t*(1,0,0)+w*(-1,0,0)+y*(0,1,1) che sono linearmente indipendenti e quindi anche base di T+W.

Spero di aver fatto giusto.

Ciao.

mamma mia... tanta roba!! complimenti, io nn avrei saputo neanke da dove partire.