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[numeri complessi] esercizio

Ciao,

qualcuno può dirmi come si procedere nello svolgimenti di questo esercizio?

"scrivere in forma trigonometrica e in forma algebrica tutte le soluzioni dell'equazione z^4= -8+8i*radice di 3

GRAZIE
CIao

Devi scrivere il numero complesso in forma trigonometrica e poi trovarne le 4 radici

in pratica ti esce un quadrato inscritto nella circonferenza che ha i vertici nelle soluzioni della radice....

mmm ..
non penso di aver capito...

mi potete fare un esempio?

GRAZIE

ora non ho gli appunti sotto mano... cmq:

il num complesso in forma algebrica è del tipo:
z=x+iy

per trasformarlo in forma trigon:

z=g(cost + isent)

dove:
g=sqrt(x^2 + y^2)
cost= x/g
sent=y/g
perciò ti ricavi l'angolo t

se hai z^4 per esempio,
devi calcolare la rad4ª:

g diventa rad4ª(g)
cost diventa cos(t/4 + 2kpi/4) (pi:pi-greco)
sent diventa sen(t/4 + 2kpi/4)
a questo punto sostituendo k=0,1,2,3 trovi le quattro soluzioni

se invece la z ti è data sotto radice:
per esempio rad4ª(z)=x+iy
devi elevare a potenza:
g diventa g^4
cost diventa cos4t
sent diventa sen4t


mi raccomando vai a controllare perchè sto andando a memoria (che è tutto un dire...)

ciao

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"Qual e la tua strada, amico?... la strada del santo, la strada del pazzo,
la strada dell'arcobaleno, la strada dell'imbecille, qualsiasi strada.
E una strada in tutte le direzioni per tutti gli uomini in tutti i modi.
Che direzione che uomo che modo?"

grazie per il suggerimento....

facciamo questo esempio :
Scrivere in forma algebrica e in forma trigonometrica tutte le soluzioni dell'equazionez^4-8z=0

lui procede così nella soluzione:
z(z^3-8)=0 per z1=0------->indeterminata
e per z^3=8--->2^3(cos0+isen0)


e ancora
z=2(cos2kpgreco/3+isen2kpigreco/3)
z2=2(cos2/3pigreco+isen2/3pigreco)
z3=2(cos4/3pigreco+isen 4/3pigreco)
z4=2=(2cos0+isen0)

ma sinceramente non mi è molto chiaro.....

prova a fare cosi:

z (z^3 - 8) = z (z - 2) (z^2 + 2z + 4);
così le quattro soluzioni sono:
z = 0;
z = 2;
le altre due sono le radici di (z^2 + 2z +4); ovviamente ti usciranno radici quadrate di numeri negativi...ma non è un problema, siamo nei complessi, ed i^2 = -1; per cui il segno negativo lo sostituisco con i^2;

PS: (a^3 - b^3) = (a-b) (a^2 + ab + b^2)

bel metodo, non ci avevo pensato!

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8+8i*radice di 3

SQRT[8^2+(8*sqrt3)^2] = 16

w = 16(Cos -1/2 + i sen SQRT3/2) = 16(cos pì2/3 + i sen pì2/3)

poi col solito metodo risolvi da z^4

cioè

Z = 2(cos pì/6 + kpì/2 + i sen pì/6 + kpì/2)

ecc............

Una domanda seguendo le istruzioni sopra :

(1 + i) viene SQRT(2) (cos pi/4 + i sen pi/4)

-Ok per ro=SQRT(2) ma pi/4 io non lo ottengo da cos(1/sqrt2) come scritto sopra ma facendo tangente(1/1) che sono le due parti reali del numero complesso.

-pi/4= tang(1) oppure cos (sqrt(2)/2) che non c'è

E' giusto o non ho capito niente ?

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