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soluzioni del tema d'esame 23/0472007

Se volete controllare i miei errori su questo tema d'esame ditemelo !!!

punto 1 del primo esercizio : E(Sn) = λ E(Sn) = E(∑ Xi) dove Xi è una singola prova il cui valore atteso è p. Si sa che si eseguono n prove indipendenti, ognuna di valore atteso p . E(Sn) = np da cui λ = np
p = λ/n

punto 1.2 : P(Sn= 0) = (n;0) p^0((1-p)^n) dove abbiamo indicato con (n;0) il coefficiente binomiale tra n e 0; Risolvendo i relativi calcoli si ottiene ((1-p)^n) e sapendo che p = λ/n riscrivo l'espressione come (1-λ/n)^n ottenendo la probabilità da cercare

punto 1.3. alfa 0 = lim n->∞ P(Sn= 0) = lim n->∞ (1-λ/n)^n = e^-λ. Questo risultato si ottiene da un noto limite notevole lim n->∞ (1-x/n)^n = e^x.

1.4. P(SN = 1) = (n;1) (λ/n) * ((1 - λ/n)^(n-1)) =
n * (λ/n) * ((1-λ/n)^(n-1)) = λ * ((1-λ/n)^(n-1))

attenzione (n;1) indica come nel punto precedente il coefficiente binomiale .... anche perchè non si può trovare simbolo per rappresentarlo

lim n-> ∞ P(Sn= 1) = lim n-> ∞ λ * ((1-λ/n)^(n-1)) = λ * e^-λ. Questo è ottenibile perchè per n->∞ (1-λ/n)^n tende ad 1 e anche perchè (1-λ/n)^-1 tende ad 1 quando n è tendente ad infinito. Questo è anche giustificato dal fatto che una Binomiale di parametri n e p può essere approssimata ad una Poissiana di parameto λ = np quando n è abbastanza grande e p è abbastanza piccolo.

2.1. P(Sn= 0) = (10 ! * (e^-10)) / 0 ! = 0,000453999. Questo perchè se abbiamo produciamo n vasi in una giornata, dove n è un numero abbastanza grande(le condizioni impongono che il numero di vasi prodotti da un'azienda è abbastanza grande). dobbiamo quindi segure un numero di prove notevoli dove ogni singola prova produrra 1 se il vaso n-essimo si è rotto e 0 altrimenti. Abbiamo studiato (se non lo si è ancora fatto) che per n abbastanza grande e p abbastanza piccolo, una binomiale può essere approssimata ad una variabile Poissiana di parametro np. quindi utilizzo questa approsimazione per calcolare la probabilità che nessun vaso venga rotto durante la produzione giornaliera. Questa probabilità si può calcolare tramite la legge che regola una Poissiana che però è indicizzata da un parametro np anziche da un parametro v.