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Cerco Soluzione Tema D'esame 24.06.2004

Grazie in anticipo.

nessuno ce l'ha?

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mate discreta contattami che studiamo assieme -->HELP

postateleeeeeeee....helppppppppp....

nada.. peccato è un tema molto interessante per domani...

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mate discreta contattami che studiamo assieme -->HELP

non c'e il testo

il testo di 06/2004

punto 1 esercizio 1 : sappiamo che la variabile aletoria di Poisson in generale ha una legge di probabilità ((e^-λ * ((λ^x) / x !). Nel nostro caso abbiamo λ = v * d quindi la legge di probabilità diventerà
((e^-vd) * ((vd)^x) / x !), ottenuta sostituendo a λ il valore v * d.

per risovere la seconda parte dell'esercizio, si crereà una tabella dove inseriamo i valori di x e il corrispondenti valori della legge di probabilità fx. Ho creato una tabella in excel e il relativo grafico

Grafico con v = 2 e d= 1

ecco il grafico

Sappiamo che il valore atteso di una Poissiana è dato dal parametro che definisce la variabile, cioè λ . Nel nostro caso λ = v * d e quindi in conclusione possiamo dire che E(X(d)) = v * d. La varianza di una variabile aleatoria di Poisson coincide con il parametro λ quindi in conclusione possiamo dire che var(X(d)) = v * d;

punto 1.3. dell'esercizio : Dobbiamo calcolare il rapporto E(X(d) / var(X(d)). Sappiamo dal punto precedente che E(X(d)) = v * d e var(X(d)) = v * d ; Quindi il rapporto è uguale ad 1 in quanto v * d al numeratore e v * d al denominatore vengono semplificati, ottenendo uno come risultato.

rispondendo alla domanda 4.a. presumo (ma non ne sono sicuro) che i punti di massa assunti da Y la variabile considerata sono : 0c,1c,2c,.......nc. (ma non prendete per certa la cosa)!!!!

punto 4.b : devo calcolare E(Y) = E(c*X) = c* E(X). Questo si ottiene da una proprietà del valore atteso che ci dice che il valore atteso di una costante moltiplicata per la variabile casuale X è dato dal prodotto tra la costante stessa c e il valore atteso della variabile casuale considerata ottenendo nel nostro caso un'espressione equivalente a quella data. L'espressione può essere riscritta come c * v*d dove a E(X) abbiamo sostituito il valore v*d : Sapendo che d 0 1 allora concludiamo che il valore atteso della variabile Y è dato da c * v. Stessa cosa dicasi per la varianza in quanto var(Y) = var(c*X) = c^2 var(X) = c^2 * v * d dove a d sostituisco il valore d = 1 ottendo che la varianza della variabile Y è data da c^2 * v.

4.c la variabile Y secondo me segue la legge di Poisson. Rispetto ad X che era una variabile di Poisson di parametro vd, in questo caso Y assumerà una distribuzione di Poisson di parametro c * v * d dove a d poniamo il valore di 1 ottenendo appunto che la variabile Y seguirà la distribuzione di Poisson e il suo parametro corrispondente è c * v

La probabilità che Y assumerà un valore maggiore di 2 in termini
P(Y> 2) è equivalente a calcolarci l'espressione 1- P(Y<=2) dove con P(Y<=2) concide con la funzione di ripartizione di una poissiana . Ricerchiamo come è descritta la funzione di ripartizione di Y

da una nota prorietà P(|g(x)|<= k) >= E[g(x)]/k per qualsiasi variabile aleatoria X avente valore atteso ux e varianza var(x) Quindi se pongo g(x) = K *(X- E(D))^2. Ma non ne sono sicuro

2.a : sappiamo che Dn = (1/N∑Di) e quindi calcoliamoci questo valore atteso E[(1/N∑Di)] = 1/n E[∑Di] = 1/n ∑ E[Di] = 1/n * n E[Di] = E[D]. Questo segue da un semplice fatto che le variabili casuali hanno la stessa distribuzione, sono indipendenti e dalle note proprietà del valore atteso. Stesso discorso per quanto riguarda la varianza . Dobbiamo calcolare var(1/N∑Di) = ∑var(1/n Di) + 2∑∑cov(Di,Dj). dove la prima sommatoria è estesa per tuti gli che vanno da 1 a n , mentre le altre due sommatorie sono estese alla condizione che i è diverso da j. Sapendo che per le variabili casuali indipendenti cov(Xi,Xj) = 0, la varianza var(1/N∑Di) = ∑var(1/n Di) per tutti gli i che vanno da 1 a n. semplificando la sommatoria ∑var(1/n Di) = (1/n^2) * n * var(Di) = 1/n var(Di) = 1/n * var(D). L'espressione è ottenuta applicando le diverse proprietà della varianza e sapendo che le diverse variabile Di sono indipendenti e identicamente distribuite

punto 3.2.b a pagina 240 del mood c'e la dimostrazione della nota disequaglianza di Tchebycheff e si arriva ad un certo punto in cui compare il secondo membro simile a quello che troviamo nella nostra espressione. Basta sostituire i vari valori nel secondo membro della regola generale ottenendo quindi il secondo membro della diseguaglianza. In pratica 1- ((varianza(Dn)/ €^2). Quindi varianza(dn)= (1/n)varianza(D) -------> 1- ((1/n)*var(D))/(s*√var(d))^2) = 1 - ((1/n*var(d)/s^2 * var(D)) e semplificando opportunamente ottengo il secondo membro della disequazioni 1 - (1/n*s^2) occhio alle parentesi !!!!

X(d) è Poissiana se esiste un numero potivo v >= 0 tale che
le condizioni fondamentali affinche X(d) sia una variabile di Poisson sono queste:
- la probabilità di inontrare un cespuglio in una distanza d chilometri è approssimativamente uguale a vd + o(d) dove v è il numero medio di cespugli incontrate in una distanza di d kilometri.
- la probabilità di incontrare due o più cespugli in una distanza d chilometri è trascurabile rispetto alla probabilità di trovare un cespuglio in una distanza di d kilometri è approsimativamente pari a vd.
- il numero di cespugli che si trovano in distanze di d chilometri diversi e non sovrapponibili è indipendente.

riprendendo il punto 1.1. dove abbiamo trovato l'espressione della legge di probilità della variabile X(d) che riproponiamo qui di seguito : ((e^-vd) * ((vd)^x) / x !). Adattandola alla nostra formula e sostituendo ad d il valore di 1 e a x il valore k .Otteniamo :
((e^-v) *(v^k) / k!))

3.a : Y = c * X(1) dove questa espressione è ottenuta dicendo che il guadagno è pari al numero di cespugli raccoli percorrendo un sentiero di un chilometro e il guadagno che mi aspetta per ogni cespuglio venduto . Quindi Y=2 * X(1).

3.b ci dobbiamo preoccupare di calcolare il valore atteso uy, quindi il valore uy= E(2* X(1)) = 2 * E(X(d)) = 2 * v * d = 2 * v . Questo si ottiene applicando le proprietà di valore atteso e sostituendo a d il valore 1 in quanto la distanza è uguale a 1.

3.c la varianza di y è var (Y) = var(2*(X(1)) = 4 * var(X(1)) = 4 * var(X(1)). Sappiamo che la varianza var(d) = v*d implica che var(Y) = 4* v. Se c'e qualche errore.... ditemelo

3.d : la probabilità cercata è di 0,96 (ma anche in questo caso non ne sono sicuro !!!)

4.a : La stima del guadagno atteso di una passeggiata uy è data da (4+ 0+8+ 0+ 0+ 6+6+2+ 4+2) / 10 = 3,2 euro. Il tutto si ottiene semplicemente dividendo il guadagno complessivo e il numero di passeggiate effettuate. Questo corrisponde quindi a calcolare la media campionaria dei valori rappresentati in tabella.

4.b La stima della varianza di Y è 1/9 * [1,8-3,2+4,8-3,2-3,2+2,8+2,8-1,2+1,8-1,2] = 0,22 ma su questo secondo punto non sono sicuro !!!

n>= (0,22) / ((1/4) * 0,22) * 0,05) = n >= 80 ma non ne sono sicuro

secondo voi passero statistica ???

ma devi essere sempre sicuro in statistica a parte che nessuno nn e sicuro sugli esercizi che fa scerzi a parte: in bocca lupo a tutti e a me

ma come puoi scherzare su queste cose