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-- esercizi per l'esame... (http://www.dsy.it/forum/showthread.php?threadid=32606)

beh.. per comunicazione digitale non so ma per informatica le risposte ci sono!!!

se vai sul sito della prof. Rusconi le trovi!!

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by Ð@rk§h@ÐØw

Ciao, qualcuno saprebbe darmi qualche informazione sullo svolgimento dell'esercizio 10 del tema d'esame del 18 settembre 2007 risolto sul sito della Rusconi? E' l'esercizio sul problema di Cauchy.

Come e' possibile che l'integrale di 1/(x-1) diventi il log (1-x) ?
Come mai cambia il sengo di cio' che c'e' al denominatore della frazione quando lo porta nel logaritmo risolvendo l'intagrale?
Puo' essere dovuto al fatto che il problema viene definito da meno infinito a meno uno?

Grazie mille, mi fa' diventare pazzo questa storia che gli integralki vengono risolti in modo strano quando sono all'interno dei problemi di Cauchy

La stessa cosa avviene anche negli appelli precedenti, per esempio tema del 10 luglio, l'integrale di -1/x e' uguale al -log(-x)

Ciao,
Fabrizio

ciao!

Partiamo dalle cose semplici.
Come saprai gli integrali e le derivate sono l'una l'inversa dell'altra cioè se fai la derivata del risultato della funzione che hai integrato dovresti riottenere la funzione che stavi integrando.

Es. sia g(x)=1 allora:
integrale di g(x) = x
derivata di x = g(x) cioè 1

Passiamo al tema di esame del 18 settembre 2007

abbiamo g(x) = 1 / (x + 1)
a questo punto da quanto detto sopra dovresti capire che il risultato di questo integrale sarà un logaritmo il cui argomento in modulo ciè una cosa del tipo lg |x|.

A questo punto possiamo dire che : integrale di g(x)= lg |x+1| ma possiamo fare di più, infatti nell'esercizio ti viene dato un'informazione che ti permette di togliere quel modulo che a noi ci da tanto fastidio!!! . Se ci fai caso ti viene detto che la soluzione è definita nell'intervallo (-inf, -1) quindi l'argomento del logarimo è negativo quindi devi cambiare di segno l'argomento del logaritmo ed è cosi che diventa lg (-x - 1).

[ATTENZIONE: si moltiplica per -1 tutto l'argomento del logaritmo!!! non solo la x]

Stesso discorso per l'altro esercizio del tema del 10 luglio infatti ti dice che la soluzione è definita nell'intervallo (-inf, 0) quindi integrale di - (1 / x) = - lg (-x).

[da notare che il meno davanti al logaritmo deriva dal fatto che la nostra funzione g(x) = 1 / x, viene moltiplicata per una costante (-1) che come saprete le costanti vengono tirate fuori dall'integrale e poi moltiplicate al risultato ottenuto!!]

Spero di essere stato abastanza chiaro ma mi sa di no!!
cmq se vi serve una mano postate pure!!

Originally posted by **Fabry**
Ciao, qualcuno saprebbe darmi qualche informazione sullo svolgimento dell'esercizio 10 del tema d'esame del 18 settembre 2007 risolto sul sito della Rusconi? E' l'esercizio sul problema di Cauchy.

Come e' possibile che l'integrale di 1/(x-1) diventi il log (1-x) ?
Come mai cambia il sengo di cio' che c'e' al denominatore della frazione quando lo porta nel logaritmo risolvendo l'intagrale?
Puo' essere dovuto al fatto che il problema viene definito da meno infinito a meno uno?

Grazie mille, mi fa' diventare pazzo questa storia che gli integralki vengono risolti in modo strano quando sono all'interno dei problemi di Cauchy

La stessa cosa avviene anche negli appelli precedenti, per esempio tema del 10 luglio, l'integrale di -1/x e' uguale al -log(-x)

Ciao,
Fabrizio

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by Ð@rk§h@ÐØw

Saro' sincero darkshadow, la tua spiegazione non e' chiara, e' chiarissima
Avevo sospettato che c'entrasse il campo di definizione legato in qualche modo al valoro assoluto dei logaritmi, ma nonostante tutto ieri sera ci diventavo pazzo a cercare di capire come mettere insieme tutte queste info

Sei stato davvero gentilissimo, oltretutto la risposta che hai dato e' anche lunga e articolata, ti avra' preso tempo scrivere tutto, sei stato davvero di una gentilezza infinita.
Anche perche' stiamo arrivando all'ultimo mese utile, mi sto' mettendo sotto alla grande a fare piu' esercizi possibili, quindi magari ti posto altri dubbi (almeno fino al 9 gennaio)

Per intanto se hai la risposta, giusto che siamo in tema, vorrei capire come fa' a trovare che effettivamente il dominio di quel problema di Cauchy e' (-inf, -1) visto che' e' definita per x diverso da 1 e -1.

Grazie mille, ciao Fabrizio

Prima di tutto sono contento di essere riuscito a chiarire il dubbio che avevi. Passiamo ora alla tua domanda.

L'esercizio dice:

1° --> y' + [1 / (x - 1)] * y = 1 / x^(2) - 1
2° --> y (-2) = 1

Poi la prof ovviamente ti dice che l'equazione lineare è definita per x != 1 e x != -1. Infatti se x = 1 o x = -1 allora 1 / x^(2) -1 diventa impossibile [ 1 / 0].
Stessa cosa per 1 / x -1 ma in questo caso solo per x = 1.

Poi ti dice anche che la soluzione è definita nell'intervallo (-inf, -1). Come ha fatto la prof a capirlo?? semplice!! basta guardare la seconda equazione che ti viene data.. nel nostro caso è y (-2) = 1.
Qui devi guardare il valore presente dentro le parentesi (in questo caso -2) e capire qual è il più piccolo intervallo che lo contiene.
Visto che -2 < 0 potremmo dire che l'intervallo che lo contiene è (-inf, 0) ma invece non lo è perchè come detto prima il valore -1 non è ammesso quindi il nostro intervallo diventa (-inf, -1) estremi esclusi!!

Stesso discorso per il tema d'esame del 10 luglio 2007.

il nostro valore è -1 che è < 0. Allora pensi che l'intervallo sia (-inf, 0] e invece no infatti se ci fai caso nella prima equazione nella parte sinistra dell'uguale abbiamo un y / x dove x deve essere != 0 perchè se no diventa impossibile!!
Quindi l'intervallo diventa (-inf, 0).

Originally posted by **Fabry**
Saro' sincero darkshadow, la tua spiegazione non e' chiara, e' chiarissima
Avevo sospettato che c'entrasse il campo di definizione legato in qualche modo al valoro assoluto dei logaritmi, ma nonostante tutto ieri sera ci diventavo pazzo a cercare di capire come mettere insieme tutte queste info

Sei stato davvero gentilissimo, oltretutto la risposta che hai dato e' anche lunga e articolata, ti avra' preso tempo scrivere tutto, sei stato davvero di una gentilezza infinita.
Anche perche' stiamo arrivando all'ultimo mese utile, mi sto' mettendo sotto alla grande a fare piu' esercizi possibili, quindi magari ti posto altri dubbi (almeno fino al 9 gennaio)

Per intanto se hai la risposta, giusto che siamo in tema, vorrei capire come fa' a trovare che effettivamente il dominio di quel problema di Cauchy e' (-inf, -1) visto che' e' definita per x diverso da 1 e -1.

Grazie mille, ciao Fabrizio

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by Ð@rk§h@ÐØw

Si vabbe' ragazzi , ma chi sei, non e' che sei uno dei docenti in incognito qui sul forum

Comunque ancora una volta spiegazione chiarissima, ho stampato tutto (giusto nel caso la memoria mi lasci temporanemane te a piedi ) e stasera riprovo a farmi questi benedetti problemi di Cauchy.

Ripeto ancora che sei stao gentilissimo, mai avuto risposte cosi' chiare neanche a lezione

Ok siamo messi molto bene, Cauchy era uno dei pochi tipi di esercizi che mi dava problemi, ricordo solo un intagrale che mi aveva lasciato perplesso come soluzione, ora vado a cercarlo e come lo trovo ti posto il dubbio.

Grazie mille, sei praticamente entrato nella selected list dei miei migliori amici

Ciao, Fabrizio

Ok trovato, e' l'esercizio numero 8 sempre del tema d'esame settembre 2007. E' un integrale definito.

Per arrivare alla penultima riga, soluzione integrale indefinito, nessun problema. Poi pero' non capisco come applica la soluzione dell'intagrale definito. Io mi aspettavo che applicasse il 2 alla soluzione meno la soluzione applicando l'1. Invece applica solo la soluzione 2 dell'intervallo di definizione e fa' sparire il C.

Spero si capisca cosa intendo dire, io mi aspettavo :
soluzione integrale(2) - soluzione integrale(1)

Ti ringrazio se saprai darmi qualche dritta anche in questo caso.
Ciao buona serata,
Fabrizio

Si vabbe' ragazzi , ma chi sei, non e' che sei uno dei docenti in incognito qui sul forum

Originally posted by **Fabry**
Ok trovato, e' l'esercizio numero 8 sempre del tema d'esame settembre 2007. E' un integrale definito.

Per arrivare alla penultima riga, soluzione integrale indefinito, nessun problema. Poi pero' non capisco come applica la soluzione dell'intagrale definito. Io mi aspettavo che applicasse il 2 alla soluzione meno la soluzione applicando l'1. Invece applica solo la soluzione 2 dell'intervallo di definizione e fa' sparire il C.

Spero si capisca cosa intendo dire, io mi aspettavo :
soluzione integrale(2) - soluzione integrale(1)

Ti ringrazio se saprai darmi qualche dritta anche in questo caso.
Ciao buona serata,
Fabrizio

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by Ð@rk§h@ÐØw

Ehhhhhhh si, ecco cosa era quel 2 alla fine che venive sottratto
Si non avevo calcolato che il log(1) e' = 0 e quindi nella soluzione mettendo l'1 buona parte dei termini sparivano.

Ti ringrazio ancora, sono davvero molto felice, e' bello se arrivi all'esame che hai fatto sparire anche gli ultimi dubbi, ti senti proprio pronto per l'esame e piu' carico.

Sei stato davvero gentilissimo a rispondere cosi' cortesemente a tutte le mie domande, oltretutto non stai neanche preparando l'esame, di solito chi risponde lo sta' preparando mentre chi lo ha gia' passato scappa eheheh

Ora mi ributtero' a fare di nuovo tutti i temi d'esame, se trovo qualche altro dubbio lo posto, magari ogni tanto fai un saltino da queste parti eheheh

A presto,
Fabrizio

Una domanda :
ho trovato che nella teoria viene asteriscata come da sapere con dimostrazione:

"Confronto tra infinitesimi - criterio della radice".

Purtroppo non riesco a trovare questa dimostrazione sul libro e neanche in internet, neanche wikipedia non dice niente
Qualcuno saprebbe dirmi dove si trova sul libro o almeno un link da consultare per vedere di che si tratta? Mi sembra ancora incredible che sia nel programma e non nel libro

Grazie mille, ciao
Fabrizio

Io quando ho fatto l'esame mi son fatto tutti i teoremi con le dimostrazioni cercando di capirle e non solo di impararle a memoria!!

purtroppo pero' non ho uno scanner per poterle postare!!

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by Ð@rk§h@ÐØw

Nessun problema sei gia' stato gentilissimo

Si devo ammettere che andrebbero studiate piu' che altro capendo le dimostrazioni, ma nello stesso tempo in questo momento mi piacerebbe piu' che altro passare l'esame.
Quindi ora preparo bene lo scritto e poi vada per imparare i teoremi a memoria

Ultima settimana di passione, sono anche tutta la settimana in ferie da lavoro per studiare, forza ultimo sforzo

Ciao a tutti, buon fine anno e un augurio per un 2008 pieno di soddisfazioni
Fabrizio

Dai darkshadow non ti lascio stare neanche gli ultimi giorni dell'anno eheheh

Tema d'esame del 15/09/2005 Tema 1 con soluzioni sul sito della prof. Rusconi, esercizio numero 5, limite da risolvere con gli o piccolo.

Se guardi le soluzioni, dove fa' l'o piccolo della radice :
- il primo valore dell'o piccolo e' 1 OK
- il secondo valore e' x (dalla regola dell'o piccolo della e), e quindi sara' (-2x per 1/2) OK
- ma il terzo valore dovrebbe essere la x al quadrato per 1/2, ma se cosi' fosse il -2x al quadrato dovrebbe diventare positivo, invece lo mantiene negativo, e poi questo gli permette di risolvere il limite correttamente.

La stessa cosa avviene anche nel tema d'esame successivo del 15/09/2005 Tema 2, esercizio 1.

Capisco che si arrivi alla soluzione corretta, ma proprio non si spiega questo meno che elevato al quadrato rimane un meno.

Spero che si sia capito qual'e' il dubbio e che qualcuno sappia risolvere questo mistero.

Ciao
Fabrizio

non trovo tali temi d'esame sul sito della prof Rusconi!!

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by Ð@rk§h@ÐØw

Si scusa hai perfettamente ragione, pensavo di avere preso anche questi esami sul sito della Rusconi eheheh

Guarda sono i temi d'esame del 15 settembre 2005 che si trovano sul sito del prof. Massa, questo il link :

http://www.mat.unimi.it/users/massa/

I dubbi sono quelli riportati sopra, per gli esercizi del limite.
Grazie se ti sembra di avere capito qual'e' il mio dubbio e se ti sembra di avere capito dov'e' l'arcano

Ciao
Fabrizio