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[help]Il thread del giorno prima

Posted by ripe on 28-11-2005 19:05

Questo è il topic in cui il giorno prima del compitino ognuno di noi può realizzare che di analisi non ci capisce una mazza!

In pratica raccogliamo tutti gli esercizi, soluzioni, consigli che ci vengono in mente, mentre combattiamo contro la cacarella che inesorabilmente aumenta.

Inizio io chiedendo un pò di soluzioni degli esercizi che ha postato la prof sul suo sito. Lo so che molti li ha fatti l'esercitatrice a lezione, ma diciamo molto eufemisticamente che non era del tutto chiara.

ESERCIZI SULLE SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI

Gruppo 1

(1)
La successione converge per tutto R, ma la funzione limite è discontinua (0 se x=0, pi/2 se x>0, -pi/2 se x<0). Quindi non converge uniformemente su S. (Non chiede di trovare i sottoinsiemi su cui converge, quindi mi fermo qui... giusto?)

(2)
La successione converge per tutto R, ma la funzione limite è discontinua (0 se x=0, pi/2 se x!=0). Quindi non converge uniformemente su S.

(3)
La successione converge per S=(-1, +infinito), ma la funzione limite è discontinua (0 se -1<x<1, pi/2 se x>1, pi/4 se x=1). Quindi non converge uniformemente su S.

Gruppo 2

(1)
La successione converge per tutto R a f(x)=0. Il limite per n->infinito del Sup non è 0, quindi tolgo un intorno di 0 restringendo l'insieme di convergenza ad [a, +infinito) (a è compreso?) con a>0, oppure (-infinito, b] con b<0.

(2)
La successione converge per S=(-infinito, 0], ma la funzione limite è discontinua (2 se x=0, 0 se x<0). Studio il grafico e vedo che per avere convergenza uniforme devo togliere un intorno di 0, ottenendo l'insieme (-infinito, b] con b<0.

(3)
La successione converge per S=(-infinito, 0] a f(x)=0. Studio il grafico e vedo che la funzione ha un massimo in (-1/n, -1/(ne)) che per n->infinito tende a 0. Quindi converge uniformemente su S.

(4)
La successione converge per S=[0, +infinito), ma la funzione limite è discontinua (1 se x=0, 0 se x>0). Studio il grafico e vedo che per avere convergenza uniforme devo togliere un intorno di 0, ottenendo l'insieme [k, +infinito) con k>0.

(5)
La successione converge per S=[0, +infinito) a f(x)=0. Studio il grafico e vedo che la funzione ha un massimo in (1/n, 1/e) che per n->infinito non tende a 0. Quindi tolgo un intorno di 0, ottenendo l'insieme [k, +infinito) con k>0.

(6) DUBBI
Effettuo una sostituzione per ricondurmi alla forma geometrica. Risolvendo le disequazioni ottengo l'insieme di convergenza S=(-infinito, ln(sqrt(2) - 1)). Quindi come procedo per trovare la convergenza uniforme?

Gruppo 3

(1)
Riconduco la serie ad una geometrica tramite sostituzione e risolvo le disequazioni, ottenenendo S=(1/2, +infinito). Avrò quindi convergenza su V=(1/2 + a, b) con a,b > 0. La funzione somma è x.

(2)
Riconduco la serie ad una geometrica tramite sostituzione e risolvo le disequazioni, ottenenendo S=(-1/2, +infinito). Avrò quindi convergenza su V=(-1/2 + a, b) con a,b > 0. La funzione somma è -x.

(3)
Riconduco la serie ad una geometrica tramite sostituzione e risolvo le disequazioni, ottenenendo S=(-infinito, ln2). Avrò quindi convergenza su V=(-b, ln2-a) con a,b > 0. La funzione somma è e^x.

(4) BOH.
Riconduco la serie ad una geometrica tramite sostituzione (portando fuori dalla serie la x^5) e risolvo le disequazioni, ottenenendo S=[0, +infinito). Quindi? V=[a, b] con a, b > 0??

(5)
Riconduco la serie ad una geometrica tramite sostituzione (come nel caso precedente) e risolvo le disequazioni, ottenenendo S=(-infinito, 0]. Stesso dubbio del caso precedente.

Gruppo 4

(1)
Studio la convergenza uniforme facendo il limite della successione e ottengo S=(-infinito, 0] con f(x) = 0. Studio la funzione trovando un Sup in (-2/n^2, 4/(n^2*e^2)). Uso questa serie numerica per maggiorare quella di partenza, e poiché questa converge anche la nostra di partenza converge.

Ci avessi capito qualcosa!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!
Sob.