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jonny86 |
.illuminato.
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Posto la soluzione per gli informatici:
W è tale che a+b=0 e a+2b-c=0 quindi se li metto a sistema ottengo:
a=-b
c=a+2b => c=-b+2b=b
e pongo b uguale ad un parametro arbitrario t € R (b=t)
quindi ho che un vettore generico W può essere espresso come (-t,t,t) e tirando fuori la t ottengo l'espressione come combinazione lineare:
(-t,t,t) = t*(-1,1,1) che essendo sicuramente indipendente poichè è solo 1 vettore è anche una base di W.
Adesso devo trovare T int. W = {0} quindi è come dire la base di W e le basi di T devono darmi 0:
x*(-1,1,1)+y*(a,b,c) = (0,0,0)
il sistema è il seguente:
-x+ya=0
x+yb=0
x+yc=0
da cui:
a=x/y
b=-x/y
c=-x/y
e quindi il mio vettore diventa:
(x/y,-x/y,-x/y) e quindi può essere espresso come combinazione lineare di:
x/y*(1,-1,-1) e quindi essendo x/y un valore reale abbiamo trovato una base per W int. T infatti se notate questa base è l'opposto di quella di W e quindi nn troverete elementi comuni tra i due sottospazi.
e lo spazio T può essere espresso secondo la legge: (a,b,c) € R3 | b=-a, c=-a (oppure a+b=0 , a+c=0)
ora possiamo dire che T+W = R3 significa:
t*(1,-1,-1)+w*(-1,1,1) = (x,y,z) (che è un vettore qualsiasi di R3)
il sistema:
t-w=x
-t+w=y
-t+w=z
da cui:
x=t-w, y=z (per la transitività dell'uguaglianza)
posto y parametro arbitrario si ha:
(t-w,y,y) la cui combinazione lineare è: t*(1,0,0)+w*(-1,0,0)+y*(0,1,1) che sono linearmente indipendenti e quindi anche base di T+W.
Spero di aver fatto giusto.
Ciao.
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kitri
